Страница 37 номер 57, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением

1) \(\begin{cases} xy = 2 \\ xz = 3 \\ x^{2} + y^{2} = 5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2xy = 4 \\ xz = 3 \\ x^{2} + y^{2} = 5 \end{cases}\)

Сложим третье и удвоенное первое уравнения:

\(\begin{cases} x^{2} + 2xy + y^{2} = 9 \\ xz = 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (x + y)^{2} = 9 \\ xz = 3 \end{cases}\)
\((x + y)^{2} = 9, x + y = \pm 3\)

В результате нахождение корней сводится к решению двух систем уравнений:

a) \(\begin{cases} x + y = 3 \\ xy = 2 \end{cases}\)

b) \(\begin{cases} x + y = -3 \\ xy = 2 \end{cases}\)

Решим данные системы уравнений:

a) Выразим \(y\) через \(x\) в первом уравнении:

\(y = 3 - x\)

Подставим полученное значение во второе уравнение:

\(x(3 - x) = 2\)
\(3x - x^{2} - 2 = 0\)
\(x^{2} - 3x + 2 = 0\)

Применив теорему Виета, найдем

\(\begin{cases} x_{1} \cdot x_{2} = 2 \\ x_{1} + x_{2} = 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x_{1} = 2 \\ x_{2} = 1 \end{cases}\)
\(y_{1} = 3 - 2 = 1\)
\(y_{2} = 3 - 1 = 2\)

b) Выразим \(y\) через \(x\) в первом уравнении:

\(y = -x - 3\)

Подставим полученное значение во второе уравнение:

\(x(-x - 3) = 2\)
\(-x^{2} - 3x - 2 = 0\)
\(x^{2} + 3x + 2 = 0\)

Применив теорему Виета, найдем

\(\begin{cases} x_{3} \cdot x_{4} = 2 \\ x_{3} + x_{4} = -3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x_{3} = -2 \\ x_{4} = -1 \end{cases}\)
\(y_{3} = -3 + 2 = -1\)
\(y_{4} = -3 + 1 = -2\)

Найдем значение переменной \(z\):

\(z = \dfrac{3}{x}\)
\(z_{1} = \dfrac{3}{x_{1}} = \dfrac{3}{2}\)
\(z_{2} = \dfrac{3}{x_{2}} = 3\)
\(z_{3} = \dfrac{3}{x_{3}} = -\dfrac{3}{2}\)
\(z_{4} = \dfrac{3}{x_{4}} = -3\)

Ответ: \(x_{1} = 2\), \(y_{1} = 1\), \(z_{1} = \frac{3}{2}\); \(x_{2} = 1\), \(y_{2} = 2\), \(z_{2} = 3\); \(x_{3} = -2\), \(y_{3} = -1\), \(z_{3} = -\frac{3}{2}\); \(x_{4} = -1\), \(y_{4} = -2\), \(z_{4} = -3\).

2) \(\begin{cases} x^{2} + y^{2} + z^{2} = 30 \\ y - x = 3 \\ y - z = 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^{2} + y^{2} + z^{2} = 30 \\ (y - x)^{2} = 9 \\ (y - z)^{2} = 16 \end{cases}\)

Возведем в квадрат второе и третье уравнения

\(\begin{cases} x^{2} + y^{2} + z^{2} = 30 \\ y^{2} - 2xy + x^{2} = 9 \\ y^{2} - 2yz + z^{2} = 16 \end{cases}\)

Прибавим ко второму уравнению третье

\(y^{2} + y^{2} - 2xy - 2yz + x^{2} + z^{2} = 25\)
\((y^{2} + x^{2} + z^{2}) + y^{2} - 2y(x + z) - 25 = 0\) (1)

Вернемся к нашей исходной системе:

\(\begin{cases} x^{2} + y^{2} + z^{2} = 30 \\ y - x = 3 \\ y - z = 4 \end{cases}\)

Прибавим ко второму уравнению третье:

\(2y - x - z = 7\)
\(-x - z = 7 - 2y\)
\(\begin{cases} x^{2} + y^{2} + z^{2} = 30 \\ x + z = 2y - 7 \end{cases}\)
\(-(x + z) = 7 - 2y | \cdot (-1)\)
\(x + z = 2y - 7\)
\(30 + y^{2} - 2y(2y - 7) - 25 = 0\)
\(30 + y^{2} - 4y^{2} + 14y - 25 = 0\)
\(-3y^{2} + 14y + 5 = 0 | \cdot (-1)\)
\(3y^{2} - 14y - 5 = 0\)
\(D = b^{2} - 4ac = 196 + 60 = 256\)
\(\sqrt{D} = 16\)
\(y_{1} = \dfrac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{14 + 16}{6} = 5\)
\(\begin{cases} x = y - 3 \\ z = y - 4 \end{cases}\)
\(y_{2} = \dfrac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{14 - 16}{6} = -\dfrac{1}{3}\)
\(x_{1} = 5 - 3 = 2\)
\(x_{2} = -\dfrac{1}{3} - 3 = -\dfrac{10}{3} = -3\dfrac{1}{3}\)
\(z_{1} = 5 - 4 = 1\)
\(z_{2} = -\dfrac{1}{3} - 4 = -\dfrac{13}{3} = -4\dfrac{1}{3}\)

Ответ: \(x_{1} = 2\), \(y_{1} = 5\), \(z_{1} = 1\); \(x_{2} = -3\frac{1}{3}\), \(y_{2} = -\frac{1}{3}\), \(z_{2} = -4\frac{1}{3}\).

3) \(\begin{cases} y^{2} - 3xy + x^{2} - x + y + 9 = 0 \\ y - x = 2 \end{cases}\)

Приведем первое уравнение к следующему виду:

\((y^{2} - 2xy + x^{2}) - xy + (y - x) + 9 = 0\)
\((y - x)^{2} - xy + (y - x) + 9 = 0\)

Подставим сюда значение для \(y - x\):

\(2^{2} - xy + 2 + 9 = 0\)
\(-xy = -15\)
\(xy = 15, y = \dfrac{15}{x}\)

Подставим во второе уравнение значение для \(y\):

\(\dfrac{15}{x} - x = 2 | \cdot x\)
\(15 - x^{2} - 2x = 0 | \cdot (-1)\)
\(x^{2} + 2x - 15 = 0\)

Воспользуемся теоремой Виета:

\(\begin{cases} x_{1} = 3 \\ x_{2} = -5 \end{cases}\)
\(\begin{cases} y_{1} = 5 \\ y_{2} = -3 \end{cases}\)

Ответ: \(x_{1} = 3\), \(y_{1} = 5\), \(x_{2} = -5\), \(y_{2} = -3\).

4) \(\begin{cases} x^{2} + 2xy + y^{2} - x - y = 6 \\ x - 2y = 3 \end{cases}\)

Приведем первое уравнение к следующему виду:

\((x + y)^{2} - (x + y) = 6\) (1)
\(x - 2y = (x + y) - 3y = 3\)
\((x + y) - 3y = 3\)
\((x + y) = 3 + 3y = 3(1 + y)\)

Подставим полученное значение для \((x + y)\) в уравнение (1)

\((3 + 3y)^{2} - (3 + 3y) = 6\)
\(9 + 18y + 9y^{2} - 3 - 3y - 6 = 0\)
\(9y^{2} + 15y = 0\)
\(3y = 0\) или \(3y + 5 = 0\)
\(y_{1} = 0\)
\(3y = -5\)
\(y_{2} = -\dfrac{5}{3}\)
\(x = 3 + 2y\)
\(x_{1} = 3 + 2 \cdot 0 = 3\)
\(x_{2} = 3 + 2 \cdot (-\dfrac{5}{3}) = \dfrac{9}{3} - \dfrac{10}{3} = -\dfrac{1}{3}\)

Ответ: \(x_{1} = 3\), \(y_{1} = 0\), \(x_{2} = -\frac{1}{3}\), \(y_{2} = -\frac{5}{3}\).