Проверь себя на странице 36, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова

\((2x^{3} + x^{2} - 4x + 3) : (2x + 1)\)

Выполним деление уголком:

Ответ: частное – \(x^{2} - 2\), остаток – 5.

\(x^{3} + 2x^{2} - 5x - 6 = 0\)
\(P_{3}(x) = x^{3} + 2x^{2} - 5x - 6\)

Выпишем все делители числа \(-6\): \(1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6\)

\(P_{3}(2) = 8 + 8 - 10 - 6 = 0\)
\(x_{1} = 2\) - это корень уравнения

Выполним деление уголком многочлена \(P_{3}(x)\) на двучлен \((x - 2)\):

Найдем корни уравнения \(x^{2} + 4x + 3 = 0\)

Применив теорему Виета, найдем

\(\begin{cases} x_{2} \cdot x_{3} = 3 \\ x_{2} + x_{3} = -4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x_{2} = -3 \\ x_{3} = -1 \end{cases}\)

Ответ: \(x_{1} = 2\), \(x_{2} = -3\), \(x_{3} = -1\).

1) \(\begin{cases} x + y = 7 \\ xy = 10 \end{cases}\)

Выразим \(y\) через \(x\) в первом уравнении:

\(y = 7 - x\)

Подставим полученное значение во второе уравнение:

\(x(7 - x) = 10\)
\(7x - x^{2} - 10 = 0\)
\(x^{2} - 7x + 10 = 0\)

Применив теорему Виета, найдем

\(\begin{cases} x_{1} \cdot x_{2} = 10 \\ x_{1} + x_{2} = 7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x_{1} = 5 \\ x_{2} = 2 \end{cases}\)
\(y_{1} = 7 - 5 = 2\)
\(y_{2} = 7 - 2 = 5\)

Ответ: \(x_{1} = 5\), \(y_{1} = 2\); \(x_{2} = 2\), \(y_{2} = 5\).

2) \(\begin{cases} 3y - x = 7 \\ y^{2} + 3x = 1 \end{cases} + \begin{cases} 9y - 3x = 21 \\ y^{2} + 3x = 1 \end{cases}\)

Прибавим ко второму уравнению системы первое, помноженное на 3, в результате чего получим уравнение:

\(9y + y^{2} - 22 = 0\)
\(y^{2} + 9y - 22 = 0\)
\(D = b^{2} - 4ac = 81 + 88 = 169\)
\(\sqrt{D} = 13\)
\(y_{1} = \dfrac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-9 + 13}{2} = 2\)
\(y_{2} = \dfrac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-9 - 13}{2} = -11\)
\(x = 3y - 7\)
\(x_{1} = 3 \cdot 2 - 7 = -1\)
\(x_{2} = 3 \cdot (-11) - 7 = -40\)

Ответ: \(x_{1} = -1\), \(y_{1} = 2\); \(x_{2} = -40\), \(y_{2} = -11\).

Введем следующие обозначения:

\(x\) – числитель данной дроби (\(x \neq 0\))
\(y\) – знаменатель дроби (\(y \neq 0\))

Обозначим \(\frac{x}{y} = t\), тогда \(\frac{y}{x} = \frac{1}{t}\)

\(t + \dfrac{1}{t} = \dfrac{25}{12} \quad \cdot t|\)
\(t^{2} + 1 - \dfrac{25}{12}t = 0\)
\(t^{2} - \dfrac{25}{12}t + 1 = 0\)
\(D = b^{2} - 4ac = \dfrac{625}{144} - 4 \cdot 1 = \dfrac{49}{144}\)
\(\sqrt{D} = \dfrac{7}{12}\)
\(t_{1} = \dfrac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{\frac{25}{12} + \frac{7}{12}}{2} = \dfrac{4}{3} = 1\dfrac{1}{3}\)
\(t_{2} = \dfrac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{\frac{25}{12} - \frac{7}{12}}{2} = \dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{4}\)

Найдем числитель и знаменатель из условия \(x^{2} + y^{2} = 25\), \(x = ty\):

\(t_{1} = \frac{4}{3}\): \(\frac{16}{9}y^{2} + y^{2} = 25\), \(y^{2} = 9\), \(y = \pm 3\), \(x = ty = \pm 4\) – дробь \(\frac{4}{3}\)
\(t_{2} = \frac{3}{4}\): \(\frac{9}{16}y^{2} + y^{2} = 25\), \(y^{2} = 16\), \(y = \pm 4\), \(x = ty = \pm 3\) – дробь \(\frac{3}{4}\)

Ответ: искомая дробь \(\frac{3}{4}\) или \(\frac{4}{3}\).