Страница 36 номер 49, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением

1) \(\begin{cases} \frac{4}{x - 1} - \frac{7}{y - 1} = 1 \\ \frac{3}{x + 3} = \frac{2}{y} \end{cases}\) О.Д.З.У \(\begin{cases} x \neq 1 \\ y \neq 0 \\ x \neq -3 \\ y \neq 1 \end{cases}\)

Выразим из второго уравнения переменную \(y\):

\(y = \dfrac{2(x + 3)}{3} = \dfrac{2x + 6}{3}\)
\(\dfrac{4(y - 1) - 7(x - 1)}{(x - 1)(y - 1)} = 1\)
\(4y - 4 - 7x + 7 = (x - 1)(y - 1)\)
\(4y - 7x + 3 = xy - x - y + 1\)
\(4y - 7x + 3 - xy + x + y - 1 = 0\)
\(5y - 6x - xy + 2 = 0\)

Подставим полученное значение в наше уравнение:

\(5 \cdot \dfrac{(2x + 6)}{3} - 6x - x(\dfrac{2x + 6}{3}) + 2 = 0\)
\(\dfrac{10}{3}x + 10 - 6x - \dfrac{2}{3}x^{2} - 2x + 2 = 0\)
\(-\dfrac{2}{3}x^{2} - \dfrac{14}{3}x + 12 = 0 | \cdot(-3)\)
\(2x^{2} + 14x - 36 = 0 | :2\)
\(x^{2} + 7x - 18 = 0\)

Воспользуемся теоремой Виета:

\(\begin{cases} x_{1} \cdot x_{2} = -18 \\ x_{1} + x_{2} = -7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x_{1} = -9 \\ x_{2} = 2 \end{cases}\)
\(\begin{cases} y_{1} = \frac{2(-9) + 6}{3} = -4 \\ y_{2} = \frac{2 \cdot 2 + 6}{3} = \frac{10}{3} \end{cases}\)

Ответ: \(x_{1} = -9\), \(y_{1} = -4\), \(x_{2} = 2\), \(y_{2} = \frac{10}{3}\).

2) \(\begin{cases} \frac{3}{x + 5} + \frac{2}{y - 3} = 2 \\ \frac{4}{x - 2} = \frac{1}{y - 6} \end{cases}\) О.Д.З.У \(\begin{cases} x \neq -5 \\ y \neq 3 \\ x \neq 2 \\ y \neq 6 \end{cases}\)

Приведем наши уравнения к общему знаменателю

\(\dfrac{3(y - 3) + 2(x + 5)}{(x + 5)(y - 3)} = 2\)
\(3y - 9 + 2x + 10 = 2(x + 5)(y - 3)\)
\(3y + 2x + 1 = 2xy - 6x + 10y - 30\)
\(3y + 2x + 1 - 2xy + 6x - 10y + 30 = 0\)
\(8x - 7y - 2xy + 31 = 0\)
\(4(y - 6) = x - 2\)
\(4y - 24 = x - 2\)
\(4y - 22 - x = 0\)
\(\begin{cases} 8x - 7y - 2xy + 31 = 0 \\ 4y - 22 - x = 0 \end{cases}\)

Выразим \(x\) из нижнего уравнения системы и подставим это значение в наше уравнение:

\(x = 4y - 22\)
\(8(4y - 22) - 7y - 2y(4y - 22) + 31 = 0\)
\(32y - 176 - 7y - 8y^{2} + 44y + 31 = 0\)
\(-8y^{2} + 69y - 145 = 0\)
\(8y^{2} - 69y + 145 = 0\)
\(D = b^{2} - 4ac = 4761 - 4 \cdot 8 \cdot 145 = 121\)
\(\sqrt{D} = 11\)
\(y_{1} = \dfrac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{69 + 11}{16} = 5\)
\(y_{2} = \dfrac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{69 - 11}{16} = \dfrac{29}{8} = 3\dfrac{5}{8}\)
\(x_{1} = 4y_{1} - 22 = 4 \cdot 5 - 22 = -2\)
\(x_{2} = 4y_{2} - 22 = 4 \cdot \dfrac{29}{8} - 22 = -\dfrac{15}{2} = -7\dfrac{1}{2}\)

Ответ: \(x_{1} = -2\), \(y_{1} = 5\), \(x_{2} = -7\frac{1}{2}\), \(y_{2} = 3\frac{5}{8}\).