Страница 37 номер 55, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
Решить уравнение: 1) \(\frac{2x^3 + 1}{2x + 1} + \frac{3x^2}{3x - 1} = \frac{15x^3}{6x^2 + x - 1}\); 2) \(\frac{6x^3}{x + 1} + \frac{5x^2 - 17x + 2}{x - 2} = \frac{18x}{2 + x - x^2}\).
1) \(\frac{2x^{3} + 1}{2x + 1} + \frac{3x^{2}}{3x - 1} = \frac{15x^{3}}{6x^{2} + x - 1}\)
Разложим квадратный трехчлен \(6x^{2} + x - 1\) на множители:
\(6x^{2} + x - 1 = 0\)
\(D = b^{2} - 4ac = 1 + 24 = 25\)
\(\sqrt{D} = 5\)
\(x_{1} = \dfrac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-1 + 5}{12} = \dfrac{1}{3}\)
\(x_{2} = \dfrac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-1 - 5}{12} = -\dfrac{1}{2}\)
\(6x^{2} + x - 1 = 6\left(x - \dfrac{1}{3}\right)\left(x + \dfrac{1}{2}\right) =\)
\(= 3\left(x - \dfrac{1}{3}\right) \cdot 2\left(x + \dfrac{1}{2}\right) = (3x - 1)(2x + 1)\)
Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:
\(\dfrac{\left(2x^{3} + 1\right)(3x - 1) + 3x^{2}(2x + 1)}{(2x + 1)(3x - 1)} = \dfrac{15x^{3}}{(2x + 1)(3x - 1)}\)
Умножим наше уравнение на общий знаменатель:
\((2x^{3} + 1)(3x - 1) + 3x^{2}(2x + 1) = 15x^{3}\)
\(6x^{4} - 2x^{3} + 3x - 1 + 6x^{3} + 3x^{2} - 15x^{3} = 0\)
\(6x^{4} - 11x^{3} + 3x^{2} + 3x - 1 = 0\)
\(P_{4}(x) = 6x^{4} - 11x^{3} + 3x^{2} + 3x - 1\)
Область допустимых значений уравнения
\(\begin{cases} 2x + 1 \neq 0 \\ 2x \neq -1 \\ x \neq -\frac{1}{2} \end{cases} \begin{cases} 3x - 1 \neq 0 \\ 3x \neq 1 \\ x \neq \frac{1}{3} \end{cases}\)
Найдем корни уравнения среди делителей числа \(-1\)
\(P_{4}(1) = 6 - 11 + 3 + 3 - 1 = 0\)
\(x_{1} = 1\) - это корень уравнения
Выполним деление уголком многочлена \(P_{4}(x)\) на двучлен \((x - 1)\):
\(M_{3}(x) = 6x^{3} - 5x^{2} - 2x + 1 = 0\)
Найдем целый корень многочлена \(M_{3}(x)\)
Делителями числа 1 являются числа: \(1, -1\)
\(M_{3}(1) = 6 - 5 - 2 + 1 = 0\)
\(x_{1} = 1\) - это корень уравнения
Выполним деление уголком многочлена \(M_{3}(x)\) на \((x - 1)\):
\(6x^{2} + x - 1 = 0\)
Корни данного уравнения мы уже находили при разложении знаменателя правой части уравнения на множители
\(x_{2} = \frac{1}{3}\) и \(x_{3} = -\frac{1}{2}\) не удовлетворяют области допустимых значений и не являются корнями уравнения
Ответ: \(x = 1\).
2) \(\frac{6x^{3}}{x + 1} + \frac{5x^{2} - 17x + 2}{x - 2} = \frac{18x}{2 + x - x^{2}}\)
\(-x^{2} + x + 2 = 0 \quad \cdot (-1)\)
\(x^{2} - x - 2 = 0\)
Найдем корни данного уравнения воспользовавшись теоремой Виета
\(\begin{cases} x_{1} = 2 \\ x_{2} = -1, \text{ то есть } x^{2} - x - 2 = (x + 1)(x - 2) \end{cases}\)
Приведем уравнение к общему знаменателю:
\(\dfrac{6x^{3}(x - 2) + (5x^{2} - 17x + 2)(x + 1)}{(x + 1)(x - 2)} = \dfrac{-18x}{(x + 1)(x - 2)}\)
Умножим наше уравнение на общий знаменатель:
\(6x^{4} - 12x^{3} + 5x^{3} + 5x^{2} - 17x^{2} - 17x + 2x + 2 + 18x = 0\)
\(6x^{4} - 7x^{3} - 12x^{2} + 3x + 2 = 0\)
\(P_{4}(x) = 6x^{4} - 7x^{3} - 12x^{2} + 3x + 2\)
Область допустимых значений уравнения
\(\begin{cases} x \neq -1 \\ x \neq 2 \end{cases}\)
Найдем корни уравнения среди делителей числа 2
\(P_{4}(1) = 6 - 7 - 12 + 3 + 2 \neq 0\)
\(P_{4}(-1) = 6 + 7 - 12 - 3 + 2 = 0\)
\(x = -1\) - это корень уравнения
Выполним деление уголком многочлена \(P_{4}(x)\) на \((x + 1)\):
\(M_{3}(x) = 6x^{3} - 13x^{2} + x + 2 = 0\)
Найдем целый корень многочлена \(M_{3}(x)\)
Делителями числа 2 являются числа: \(1, -1, 2, -2\)
\(M_{3}(2) = 48 - 52 + 2 + 2 = 0\)
\(x = 2\) - это корень уравнения
Выполним деление уголком многочлена \(M_{3}(x)\) на \((x - 2)\):
\(6x^{2} - x - 1 = 0\)
\(D = b^{2} - 4ac = 1 + 24 = 25\)
\(\sqrt{D} = 5\)
\(x_{1} = \dfrac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{1 + 5}{12} = \dfrac{1}{2}\)
\(x_{2} = \dfrac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{1 - 5}{12} = -\dfrac{1}{3}\)
\(x = -1\) и \(x = 2\) не удовлетворяют области допустимых значений и не являются корнями уравнения
Ответ: \(x_{1} = \frac{1}{2}\), \(x_{2} = -\frac{1}{3}\).
