Страница 26 номер 30, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением

1) \(\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 10 \\ xy = 3 \end{cases} \begin{cases} x^{2} + y^{2} = 10 \\ 2xy = 6 \end{cases}\)

Прибавим к первому уравнению второе, умноженное на 2:

\(x^{2} + 2xy + y^{2} = 16\)

Алгебраическое выражение в левой части равенства представляет собой квадрат суммы:

\((x + y)^{2} = 16\)
\(x + y = \pm 4\)

Решение исходной системы уравнений свелось к решению двух систем уравнений:

\(\begin{cases} x + y = 4 \\ xy = 3 \end{cases} \begin{cases} x + y = -4 \\ xy = 3 \end{cases}\)

Решим каждую систему, воспользовавшись теоремой, обратной теореме Виета:

\(z^{2} - 4z + 3 = 0\)
\(\begin{cases} z_{1} = 3 \\ z_{2} = 1 \end{cases} \begin{cases} x_{1} = 3 \\ y_{1} = 1 \end{cases} \begin{cases} x_{2} = 1 \\ y_{2} = 3 \end{cases}\)
\(t^{2} + 4t + 3 = 0\)
\(\begin{cases} t_{1} = -3 \\ t_{2} = -1 \end{cases} \begin{cases} x_{3} = -3 \\ y_{3} = -1 \end{cases} \begin{cases} x_{4} = -1 \\ y_{4} = -3 \end{cases}\)

Ответ: \(x_{1} = 3\), \(y_{1} = 1\); \(x_{2} = 1\), \(y_{2} = 3\); \(x_{3} = -3\), \(y_{3} = -1\); \(x_{4} = -1\), \(y_{4} = -3\).

2) \(\begin{cases} x^{2} - xy + y^{2} = 19 \\ xy = 15 \end{cases} \begin{cases} x^{2} - xy + y^{2} = 19 \\ 3xy = 45 \end{cases}\)

Прибавим к первому уравнению второе, умноженное на 3:

\(x^{2} + 2xy + y^{2} = 64\)

Алгебраическое выражение в левой части равенства представляет собой квадрат суммы:

\((x + y)^{2} = 64\)
\(x + y = \pm 8\)

Решение исходной системы уравнений свелось к решению двух систем уравнений:

\(\begin{cases} x + y = 8 \\ xy = 15 \end{cases} \begin{cases} x + y = -8 \\ xy = 15 \end{cases}\)

Решим каждую систему, воспользовавшись теоремой, обратной теореме Виета:

\(z^{2} - 8z + 15 = 0\)
\(\begin{cases} z_{1} = 5 \\ z_{2} = 3 \end{cases} \begin{cases} x_{1} = 5 \\ x_{2} = 3 \end{cases} \begin{cases} y_{1} = 3 \\ y_{2} = 5 \end{cases}\)
\(t^{2} + 8t + 15 = 0\)
\(\begin{cases} t_{1} = -5 \\ t_{2} = -3 \end{cases} \begin{cases} x_{3} = -5 \\ x_{4} = -3 \end{cases} \begin{cases} y_{3} = -3 \\ y_{4} = -5 \end{cases}\)

Ответ: \(x_{1} = 5\), \(y_{1} = 3\); \(x_{2} = 3\), \(y_{2} = 5\); \(x_{3} = -5\), \(y_{3} = -3\); \(x_{4} = -3\), \(y_{4} = -5\).

3) \(\begin{cases} x^{2} + 4xy + y^{2} = 94 \\ xy = 15 \end{cases} \begin{cases} x^{2} + 4xy + y^{2} = 94 \\ 2xy = 30 \end{cases}\)

Вычтем из первого уравнения второе, умноженное на 2:

\(x^{2} + 2xy + y^{2} = 64\)

Алгебраическое выражение в левой части равенства представляет собой квадрат суммы:

\((x + y)^{2} = 64\)
\(x + y = \pm 8\)

Решение исходной системы уравнений свелось к решению двух систем уравнений:

\(\begin{cases} x + y = 8 \\ xy = 15 \end{cases} \begin{cases} x + y = -8 \\ xy = 15 \end{cases}\)

Решим каждую систему, воспользовавшись теоремой, обратной теореме Виета:

\(z^{2} - 8z + 15 = 0\)
\(\begin{cases} z_{1} = 5 \\ z_{2} = 3 \end{cases} \begin{cases} x_{1} = 5 \\ y_{1} = 3 \end{cases} \begin{cases} x_{2} = 3 \\ y_{2} = 5 \end{cases}\)
\(t^{2} + 8t + 15 = 0\)
\(\begin{cases} t_{1} = -5 \\ t_{2} = -3 \end{cases} \begin{cases} x_{3} = -5 \\ y_{3} = -3 \end{cases} \begin{cases} x_{4} = -3 \\ y_{4} = -5 \end{cases}\)

Ответ: \(x_{1} = 5\), \(y_{1} = 3\); \(x_{2} = 3\), \(y_{2} = 5\); \(x_{3} = -5\), \(y_{3} = -3\); \(x_{4} = -3\), \(y_{4} = -5\).

4) \(\begin{cases} x^{2} - 6xy + y^{2} = 8 \\ xy = 7 \end{cases} \begin{cases} x^{2} - 6xy + y^{2} = 8 \\ 8xy = 56 \end{cases}\)

Прибавим к первому уравнению второе, умноженное на 8:

\(x^{2} + 2xy + y^{2} = 64\)

Алгебраическое выражение в левой части равенства представляет собой квадрат суммы:

\((x + y)^{2} = 64\)
\(x + y = \pm 8\)

Решение исходной системы уравнений свелось к решению двух систем уравнений:

\(\begin{cases} x + y = 8 \\ xy = 7 \end{cases} \begin{cases} x + y = -8 \\ xy = 7 \end{cases}\)

Решим каждую систему, воспользовавшись теоремой, обратной теореме Виета:

\(z^{2} - 8z + 7 = 0\)
\(\begin{cases} z_{1} = 7 \\ z_{2} = 1 \end{cases} \begin{cases} x_{1} = 7 \\ y_{1} = 1 \end{cases} \begin{cases} x_{2} = 1 \\ y_{2} = 7 \end{cases}\)
\(t^{2} + 8t + 7 = 0\)
\(\begin{cases} t_{1} = -7 \\ t_{2} = -1 \end{cases} \begin{cases} x_{3} = -7 \\ y_{3} = -1 \end{cases} \begin{cases} x_{4} = -1 \\ y_{4} = -7 \end{cases}\)

Ответ: \(x_{1} = 7\), \(y_{1} = 1\); \(x_{2} = 1\), \(y_{2} = 7\); \(x_{3} = -7\), \(y_{3} = -1\); \(x_{4} = -1\), \(y_{4} = -7\).