Страница 22 номер 20, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением

1) \(\frac{x^{2}}{x + 1} - \frac{5}{x - 2} = \frac{11}{(x + 1)(2 - x)}\)

Приведем левую часть равенства к общему знаменателю:

\(\dfrac{x^{2}}{x + 1} - \dfrac{5}{x - 2} = \dfrac{11}{-(x + 1)(x - 2)}\)
\(\dfrac{x^{2}(x - 2) - 5(x + 1)}{(x + 1)(x - 2)} = \dfrac{-11}{(x + 1)(x - 2)} | \cdot (x + 1)(x - 2)\)
\(x^{3} - 2x^{2} - 5x - 5 = -11\)
\(x^{3} - 2x^{2} - 5x + 6 = 0\)

Область допустимых значений уравнения

\(\begin{cases} x \neq -1 \\ x \neq 2 \end{cases}\)
\(P_{3}(x) = x^{3} - 2x^{2} - 5x + 6\)

Найдем корень данного уравнения среди делителей числа 6:

\(P_{3}(1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0\)
\(x_{1} = 1\) – корень многочлена

Разделим \(P_{3}(x)\) на \((x - 1)\)

\(P_{3}(x) = (x - 1)(x^{2} - x - 6) = 0\)
\(x^{2} - x - 6 = 0\)

Так как \(a = 1\), можно воспользоваться теоремой Виета:

\(\begin{cases} x_{2} \cdot x_{3} = -6 \\ x_{2} + x_{3} = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x_{2} = -2 \\ x_{3} = 3 \end{cases}\)

Ответ: \(x_{1} = 1\), \(x_{2} = -2\), \(x_{3} = 3\).

2) \(\frac{16x + 9}{x + 4} - \frac{1}{x} = 2 + 2x\)

Приведем левую часть равенства к общему знаменателю:

\(\dfrac{(16x + 9) \cdot x - x - 4}{x(x + 4)} = \dfrac{2 + 2x}{1}\)
\(16x^{2} + 9x - x - 4 = (2 + 2x) \cdot x \cdot (x + 4)\)
\(16x^{2} + 8x - 4 = (2 + 2x)(x^{2} + 4x)\)
\((2 + 2x)(x^{2} + 4x) = 2x^{2} + 8x + 2x^{3} + 8x^{2}\)
\(16x^{2} + 8x - 4 = 2x^{2} + 8x + 2x^{3} + 8x^{2}\)
\(2x^{3} - 6x^{2} + 4 = 0 | :2\)
\(x^{3} - 3x^{2} + 2 = 0\)

Область допустимых значений уравнения

\(\begin{cases} x + 4 \neq 0\ x \neq -4 \\ x \neq 0 \end{cases}\)
\(P_{3}(x) = x^{3} - 3x^{2} + 2\)

Воспользовавшись способом группировки и формулой разности квадратов, разложим \(P_{3}(x)\) на множители:

\((x^{3} - x^{2}) - 2x^{2} + 2 = 0\)
\(x^{2}(x - 1) - 2(x^{2} - 1) = 0\)
\(x^{2}(x - 1) - 2(x - 1)(x + 1) = 0\)
\((x - 1)(x^{2} - 2x - 2) = 0\)
\(x_{1} = 1\) или \(x^{2} - 2x - 2 = 0\)
\(D = b^{2} - 4ac = 12, \sqrt{D} = 2\sqrt{3}\)
\(x_{2{,}3} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2}\)
\(x_{2} = 1 + \sqrt{3}\)
\(x_{3} = 1 - \sqrt{3}\)

Ответ: \(x_{1} = 1\), \(x_{2{,}3} = 1 \pm \sqrt{3}\).

3) \(\frac{3x^{2}}{x - 1} - \frac{7}{x + 1} = \frac{5x^{2} + 9}{x^{2} - 1}\)

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

\(\dfrac{3x^{2}(x + 1) - 7(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \dfrac{5x^{2} + 9}{(x - 1)(x + 1)}\)
\(3x^{3} + 3x^{2} - 7x + 7 = 5x^{2} + 9\)
\(3x^{3} + 3x^{2} - 5x^{2} - 7x + 7 - 9 = 0\)
\(3x^{3} - 2x^{2} - 7x - 2 = 0\)

Область допустимых значений уравнения

\(\begin{cases} x \neq 1 \\ x \neq -1 \end{cases}\)
\(P_{3}(x) = 3x^{3} - 2x^{2} - 7x - 2\)

Найдем корни уравнения среди делителей числа \(-2\):

\(P_{3}(-1) = -3 - 2 + 7 - 2 = 0\)
\(x = -1\) – корень данного уравнения

Разделим уголком \(P_{3}(x)\) на \((x + 1)\)

\(P_{3}(x) = (x + 1)(3x^{2} - 5x - 2) = 0\)
\(M_{2}(x) = 3x^{2} - 5x - 2 = 0\)
\(3x^{2} - 5x - 2 = 0\)
\(D = b^{2} - 4ac = 49, \sqrt{D} = 7\)
\(x_{1} = \dfrac{5 - 7}{6} = -\dfrac{1}{3}\)
\(x_{2} = \dfrac{5 + 7}{6} = \dfrac{12}{6} = 2\)
\(x = -1\) не подходит по О.Д.З.У, следовательно, \(x = -1\) – посторонний корень

Ответ: \(x_{1} = -\frac{1}{3}\), \(x_{2} = 2\).

4) \(\frac{2x^{2}}{x - 1} - \frac{3x}{x + 2} = \frac{2(4x - 1)}{x^{2} + x - 2}\)

Разложим квадратный трехчлен \(x^{2} + x - 2\) на множители, для чего найдем его корни с помощью теоремы Виета:

\(\begin{cases} x_{1} \cdot x_{2} = -2 \\ x_{1} + x_{2} = -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x_{1} = -2 \\ x_{2} = 1 \end{cases}\)

Тогда \(x^{2} + x - 2 = (x - 1) \cdot (x + 2)\)

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

\(\dfrac{2x^{2}(x + 2) - 3x(x - 1)}{(x - 1)(x + 2)} = \dfrac{2(4x - 1)}{x^{2} + x - 2}\)
\(2x^{3} + 4x^{2} - 3x^{2} + 3x - 8x + 2 = 0\)
\(2x^{3} + x^{2} - 5x + 2 = 0\)

Область допустимых значений уравнения

\(\begin{cases} x \neq 1 \\ x \neq -2 \end{cases}\)
\(P_{3}(x) = 2x^{3} + x^{2} - 5x + 2\)

Найдем корни уравнения среди делителей числа 2. Такими числами являются \(1, -1, 2, -2\)

\(P_{3}(1) = 2 + 1 - 5 + 2 = 0\)
\(x = 1\) – корень данного уравнения

Разделим уголком \(P_{3}(x)\) на \((x - 1)\)

\(P_{3}(x) = (x - 1)(2x^{2} + 3x - 2) = 0\)
\(2x^{2} + 3x - 2 = 0\)
\(D = b^{2} - 4ac = 25, \sqrt{D} = 5\)
\(x_{1} = \dfrac{-3 + 5}{4} = \dfrac{1}{2}\)
\(x_{2} = \dfrac{-3 - 5}{4} = -2\)
\(x_{2} = -2\) и \(x = 1\) – не подходят по области допустимых значений и являются посторонними корнями

Ответ: \(x_{1} = \frac{1}{2}\).

5) \(\frac{3x}{2x - 1} + \frac{x + 1}{x + 2} = \frac{3}{2 - 3x - 2x^{2}}\)

Приведем левую часть равенства к общему знаменателю:

\(\dfrac{3x(x + 2) + (x + 1)(2x - 1)}{(2x - 1)(x + 2)} = \dfrac{3}{2 - 3x - 2x^{2}}\)

Раскроем скобки в знаменателе левой дроби:

\((2x - 1)(x + 2) = 2x^{2} + 4x - x - 2 = 2x^{2} + 3x - 2\)
\(\dfrac{3x(x + 2) + (x + 1)(2x - 1)}{2x^{2} + 3x - 2} = \dfrac{-3}{2x^{2} + 3x - 2}\)
\(3x(x + 2) + (x + 1)(2x - 1) = -3\)
\(3x^{2} + 6x + 2x^{2} - x + 2x - 1 + 3 = 0\)
\(3x^{2} + 2x^{2} + 5x + 2x + 2 = 0\)
\(5x^{2} + 7x + 2 = 0\)

Область допустимых значений уравнения

\(\begin{cases} x \neq -2 \\ x \neq \frac{1}{2} \end{cases}\)
\(D = b^{2} - 4ac = 49 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 9, \sqrt{D} = 3\)
\(x_{1{,}2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)
\(x_{1} = \dfrac{-7 + 3}{10} = -\dfrac{2}{5}\)
\(x_{2} = \dfrac{-7 - 3}{10} = -1\)

Ответ: \(x_{1} = -\frac{2}{5}\), \(x_{2} = -1\).

6) \(\frac{1 - x}{x - 3} - \frac{2x}{3x + 2} = \frac{4}{6 + 7x - 3x^{2}}\)

Разложим квадратный трехчлен \(6 + 7x - 3x^{2}\) на множители:

\(-3x^{2} + 7x + 6 = 0\)
\(D = b^{2} - 4ac = 49 - 4 \cdot (-3) \cdot 6 = 49 + 72 = 121\)
\(\sqrt{D} = 11\)
\(x_{1} = \dfrac{-7 + 11}{-6} = -\dfrac{2}{3}\)
\(x_{2} = \dfrac{-7 - 11}{-6} = 3\)

Область допустимых значений уравнения

\(\begin{cases} x \neq 3 \\ x \neq -\frac{2}{3} \end{cases}\)
\(-3x^{2} + 7x + 6 = -3(x + \dfrac{2}{3})(x - 3) = -(3x + 2)(x - 3)\)
\(\dfrac{(1 - x)(3x + 2) - 2x(x - 3)}{(x - 3)(3x + 2)} = \dfrac{-4}{(3x + 2)(x - 3)} | \cdot (3x + 2) \cdot (x - 3)\)
\(3x + 2 - 3x^{2} - 2x - 2x^{2} + 6x + 4 = 0\)
\(-5x^{2} + 7x + 6 = 0\)
\(D = b^{2} - 4ac = 49 - 4 \cdot (-5) \cdot 6 = 49 + 120 = 169\)
\(\sqrt{D} = 13\)
\(x_{1} = \dfrac{-7 + 13}{-10} = -\dfrac{3}{5}\)
\(x_{2} = \dfrac{-7 - 13}{-10} = 2\)

Ответ: \(x_{1} = -\frac{3}{5}\), \(x_{2} = 2\).