Страница 17 номер 17, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
Доказать, что если \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) — корни уравнения \(x^3 + ax + b = 0\), то \(x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = 3x_1x_2x_3\).
Если \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\) - корни кубического уравнения \({x^{3} + ax + b = 0}\), то \({(x - x_{1}) \cdot (x - x_{2}) \cdot (x - x_{3}) = x^{3} + ax + b}\), так как \({x^{3} + ax + b}\) делится на \((x - x_{1})\), частное – на \((x - x_{2})\), следующее частное – на \((x - x_{3})\), а коэффициент при \(x^{3}\) равен 1.
Двучлены \((x - x_{1})\), \((x - x_{2})\), \((x - x_{3})\) – делители многочлена \({P_{3}(x) = x^{3} + ax + b}\)
Найдем произведение делителей многочлена \(P_{3}(x)\):
\((x - x_{1}) \cdot (x - x_{2}) \cdot (x - x_{3}) =\)
\(= x^{3} - (x_{3} + x_{2} + x_{1}) \cdot x^{2} +\)
\(+ (x_{1} \cdot x_{2} + x_{2} \cdot x_{3} + x_{1} \cdot x_{3}) \cdot x - x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3}\)
\(x^{3} + ax + b = x^{3} - (x_{3} + x_{2} + x_{1}) \cdot x^{2} +\)
\(+ (x_{1} \cdot x_{2} + x_{2} \cdot x_{3} + x_{1} \cdot x_{3}) \cdot x - x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3}\)
Из данного равенства следует:
\(\begin{cases} x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0 \\ b = -x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \\ a = x_{1} \cdot x_{2} + x_{2} \cdot x_{3} + x_{1} \cdot x_{3} \end{cases}\)
Сравнив левую и правую части равенства получим:
\(\begin{cases} x_{3} + x_{2} + x_{1} = 0 \\ b = -x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \\ a = x_{1} \cdot x_{2} + x_{2} \cdot x_{3} + x_{1} \cdot x_{3} \end{cases}\)
\(x_{1} = -(x_{3} + x_{2})\)
\(x_{2} = -(x_{1} + x_{3})\)
\(x_{3} = -(x_{1} + x_{2})\)
Домножим коэффициент \(a\) поочередно на \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\):
\(x_{3} \cdot a = x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} + x_{2} \cdot x_{3}^{2} + x_{1} \cdot x_{3}^{2} =\)
\(= x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} + x_{3}^{2}(x_{2} + x_{1}) = x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} - x_{3}^{3};\)
\(x_{2} \cdot a = x_{1} \cdot x_{2}^{2} + x_{3} \cdot x_{2}^{2} + x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} =\)
\(= x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} + x_{2}^{2}(x_{1} + x_{3}) = -x_{2}^{3} + x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3};\)
\(x_{1} \cdot a = x_{1}^{2} \cdot x_{2} + x_{3} \cdot x_{1}^{2} + x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} =\)
\(= x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} + x_{1}^{2}(x_{2} + x_{3}) = x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} - x_{1}^{3};\)
Найдем \(x_{1} \cdot a + x_{2} \cdot a + x_{3} \cdot a = a \cdot (x_{1} + x_{2} + x_{3}) = 0\) по условию задачи:
\(x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} - x_{2}^{3} + x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} - x_{3}^{3} + x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} - x_{1}^{3} = 0\)
\(3x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} - x_{1}^{3} - x_{2}^{3} - x_{3}^{3} = 0\)
\(3x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} = x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + x_{3}^{3}\)
Доказательство выполнено
