Страница 37 номер 54, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением

1) \(x^{5} + 3x^{4} + 2x^{3} + 6x^{2} + 2x + 6 = 0\)
\(P_{5}(x) = x^{5} + 3x^{4} + 2x^{3} + 6x^{2} + 2x + 6\)

Выпишем все делители числа 6: \(1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6\)

\(P_{5}(2) = 32 + 3 \cdot 16 + 2 \cdot 8 + 6 \cdot 4 + 4 + 6 \neq 0\)
\(P_{5}(-2) = -32 + 48 - 16 + 24 - 4 + 6 \neq 0\)
\(P_{5}(-1) = -1 + 3 + (-2) + 6 - 2 + 6 \neq 0\)
\(P_{5}(-3) = -243 + 243 - 54 + 54 - 6 + 6 = 0\)
\(x_{1} = -3\) - это корень уравнения

Выполним деление уголком многочлена \(P_{5}(x)\) на двучлен \((x + 3)\):

\(M_{4}(x) = x^{4} + 2x^{2} + 2 = 0\)

Обозначим \(x^{2}\) как \(t\) и получим:

\(t^{2} + 2t + 2 = 0\)
\(D = 4 - 4 \cdot 2 = -4 < 0\) – данное уравнение не имеет действительных корней

Ответ: \(x = -3\).

2) \(x^{5} - 2x^{4} - 3x^{3} + 6x^{2} - 4x + 8 = 0\)
\(P_{5}(x) = x^{5} - 2x^{4} - 3x^{3} + 6x^{2} - 4x + 8\)

Выпишем все делители числа 8: \(1, -1, 2, -2, 4, -4, 8, -8\)

\(P_{5}(1) = 1 - 2 - 3 + 6 - 4 + 8 \neq 0\)
\(P_{5}(-1) = -1 - 2 + 3 + 6 + 4 + 8 \neq 0\)
\(P_{5}(2) = 32 - 32 - 24 + 24 - 8 + 8 = 0\)
\(x_{1} = 2\) - это корень уравнения

Выполним деление уголком многочлена \(P_{5}(x)\) на двучлен \((x - 2)\):

\(M_{4}(x) = x^{4} - 3x^{2} - 4 = 0\)

Обозначим \(x^{2}\) как \(t\) и получим:

\(t^{2} - 3t - 4 = 0\)

Вычислим корни данного уравнения, воспользовавшись теоремой Виета:

\(\begin{cases} t_{1} = 4 \\ t_{2} = -1 \end{cases}\)
\(x^{2} = 4\) или \(x^{2} = -1\) (не имеет действительных корней)
\(x_{2{,}3} = \pm 2\)

Ответ: \(x_{1{,}2} = \pm 2\).

3) \(4x^{6} - 4x^{5} - 5x^{4} - 3x^{3} - 7x^{2} + x + 2 = 0\)
\(P_{6}(x) = 4x^{6} - 4x^{5} - 5x^{4} - 3x^{3} - 7x^{2} + x + 2\)

Найдем корни данного уравнения среди делителей числа 2

\(P_{6}(1) = 4 - 4 - 5 - 3 - 7 + 1 + 2 \neq 0\)
\(P_{6}(-1) = 4 + 4 - 5 + 3 - 7 - 1 + 2 = 0\)
\(x_{1} = -1\) – корень уравнения

Выполним деление уголком многочлена \(P_{6}(x)\) на двучлен \((x + 1)\):

\(M_{5}(x) = 4x^{5} - 8x^{4} + 3x^{3} - 6x^{2} - x + 2 = 0\)

Найдем корни многочлена-частного среди делителей числа 2:

\(M_{5}(2) = 128 - 128 + 24 - 24 - 2 + 2 = 0\)
\(x_{2} = 2\) – корень уравнения

Выполним деление уголком многочлена \(M_{5}(x)\) на \((x - 2)\):

\(4x^{4} + 3x^{2} - 1 = 0\)
\(t = x^{2} \Rightarrow 4t^{2} + 3t - 1 = 0\)
\(D = b^{2} - 4ac = 9 + 16 = 25\)
\(\sqrt{D} = 5\)
\(t_{1} = \dfrac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-3 + 5}{8} = \dfrac{1}{4}\)
\(t_{2} = \dfrac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-3 - 5}{8} = -1\)
\(x^{2} = \frac{1}{4}\) или \(x^{2} = -1\) – не имеет действительных корней
\(x_{3{,}4} = \pm\sqrt{\dfrac{1}{4}} = \pm \dfrac{1}{2}\)

Ответ: \(x_{1} = -1\), \(x_{2} = 2\), \(x_{3{,}4} = \pm \frac{1}{2}\).

4) \(x^{6} - 2x^{5} - 2x^{4} + 6x^{3} - 7x^{2} + 8x - 4 = 0\)
\(P_{6}(x) = x^{6} - 2x^{5} - 2x^{4} + 6x^{3} - 7x^{2} + 8x - 4\)

Найдем корни данного уравнения среди делителей числа \(-4\)

\(P_{6}(1) = 1 - 2 - 2 + 6 - 7 + 8 - 4 = 0\)
\(P_{6}(2) = 64 - 64 - 32 + 48 - 28 + 16 - 4 = 0\)
\(P_{6}(-2) = 64 + 64 - 32 - 48 - 28 - 16 - 4 = 0\)
\(x_{1} = 1\) – корень уравнения

Выполним деление уголком многочлена \(P_{6}(x)\) на \((x - 1)\):

\(M_{5}(x) = x^{5} - x^{4} - 3x^{3} + 3x^{2} - 4x + 4 = 0\)

Найдем корни многочлена-частного среди делителей числа 4:

\(M_{5}(1) = 1 - 1 - 3 + 3 - 4 + 4 = 0\)
\(x_{1} = 1\) – корень уравнения

Выполним деление уголком многочлена \(M_{5}(x)\) на \((x - 1)\):

\(x^{4} - 3x^{2} - 4 = 0\)
\(t = x^{2} \Rightarrow t^{2} - 3t - 4 = 0\)

По теореме Виета найдем корни данного уравнения

\(\begin{cases} t_{1} = 4 \\ t_{2} = -1 \end{cases}\)
\(x^{2} = 4\) или \(x^{2} = -1\) – не имеет действительных корней
\(x_{2{,}3} = \pm 2\)

Ответ: \(x_{1} = 1\), \(x_{2{,}3} = \pm 2\).