Страница 26 номер 25, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
Решить систему уравнений (25—30). 1) \(\begin{cases}x^2 + y^2 = 74,\\ x + y = 12;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}x^2 - y^2 = 32,\\ x - y = 4;\end{cases}\) 3) \(\begin{cases}x^2 + y^2 = 10,\\ x + y = 4;\end{cases}\) 4) \(\begin{cases}x^2 - y^2 = 16,\\ x - y = 1.\end{cases}\)
1) \(\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 74 \\ x + y = 12 \end{cases}\)
Решим эту систему методом подстановки, выразив \(y\) через \(x\) из второго уравнения системы:
\(y = 12 - x\)
Теперь подставим это выражение в первое уравнение системы:
\(x^{2} + (12 - x)^{2} = 74\)
\(x^{2} + 144 - 24x + x^{2} = 74\)
Перенесем все члены уравнения в одну сторону равенства:
\(2x^{2} - 24x + 70 = 0 | :2\)
\(x^{2} - 12x + 35 = 0\)
Решим данное уравнение, воспользовавшись теоремой Виета:
\(\begin{cases} x_{1} \cdot x_{2} = 35 \\ x_{1} + x_{2} = 12 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x_{1} = 5 \\ x_{2} = 7 \end{cases}\)
\(\begin{cases} y_{1} = 12 - 5 = 7 \\ y_{2} = 12 - 7 = 5 \end{cases}\)
Ответ: \(x_{1} = 5\), \(y_{1} = 7\), \(x_{2} = 7\), \(y_{2} = 5\).
2) \(\begin{cases} x^{2} - y^{2} = 32 \\ x - y = 4 \end{cases}\)
Решим эту систему методом подстановки, выразив \(y\) через \(x\) из второго уравнения системы:
\(y = x - 4\)
Теперь подставим это выражение в первое уравнение системы:
\(x^{2} - (x - 4)^{2} = 32\)
\(x^{2} - x^{2} + 8x - 16 - 32 = 0\)
\(8x = 48\)
\(x = 6\)
\(y = 6 - 4 = 2\)
Ответ: \(x = 6\), \(y = 2\).
3) \(\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 10 \\ x + y = 4 \end{cases}\)
Решим эту систему методом подстановки, выразив \(y\) через \(x\) из второго уравнения системы:
\(y = 4 - x\)
Теперь подставим это выражение в первое уравнение системы:
\(x^{2} + (4 - x)^{2} = 10\)
Перенесем все члены уравнения в одну сторону равенства:
\(x^{2} + 16 - 8x + x^{2} - 10 = 0\)
\(2x^{2} - 8x + 6 = 0 | :2\)
\(x^{2} - 4x + 3 = 0\)
Решим данное уравнение, воспользовавшись теоремой Виета:
\(\begin{cases} x_{1} \cdot x_{2} = 3 \\ x_{1} + x_{2} = 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x_{1} = 3 \\ x_{2} = 1 \end{cases}\)
\(\begin{cases} y_{1} = 4 - 3 = 1 \\ y_{2} = 4 - 1 = 3 \end{cases}\)
Ответ: \(x_{1} = 3\), \(y_{1} = 1\), \(x_{2} = 1\), \(y_{2} = 3\).
4) \(\begin{cases} x^{2} - y^{2} = 16 \\ x - y = 1 \end{cases}\)
Разложим верхнее уравнение системы по формуле разности квадратов:
\(\begin{cases} (x - y)(x + y) = 16 \\ x - y = 1 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x + y = 16 \\ x - y = 1 \end{cases}\)
Вычтем из верхнего уравнения системы нижнее:
\(2y = 15\)
\(y = 7{,}5\)
\(x = 1 + y = 8{,}5\)
Ответ: \(x = 8{,}5\) \(y = 7{,}5\).
