Страница 31 номер 35, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением

1) \(\begin{cases} yz = 15 \\ xz = 10 \\ y^{2} + z^{2} = 34 \end{cases}\) \(\begin{cases} 2yz = 30 \\ xz = 10 \\ y^{2} + z^{2} = 34 \end{cases}\)

Сложим третье уравнение с удвоенным первым:

\(y^{2} + 2yz + z^{2} = 64\)
\((y + z)^{2} = 64\) \[\left[ \begin{array}{l} y + z = 8 \\ y + z = -8 \end{array} \right. \left[ \begin{array}{l} y = 8 - z \\ y = -8 - z \end{array} \right. \left[ \begin{array}{l} (8 - z) \cdot z = 15 \\ (-8 - z) \cdot z = 15 \end{array} \right.\]

Решим данное уравнение, воспользовавшись теоремой, обратной теореме Виета:

\(-z^{2} + 8z - 15 = 0\)
\(z^{2} - 8z + 15 = 0\)
\(\begin{cases} z_{1} \cdot z_{2} = 15 \\ z_{1} + z_{2} = 8 \end{cases} \begin{cases} z_{1} = 3 \\ z_{2} = 5 \end{cases}\)
\(\begin{cases} y_{1} = \frac{15}{3} = 5 \\ y_{2} = \frac{15}{5} = 3 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x_{1} = \frac{10}{3} \\ x_{2} = \frac{10}{5} = 2 \end{cases}\)
\(-z^{2} - 8z - 15 = 0\)
\(z^{2} + 8z + 15 = 0\)
\(\begin{cases} z_{3} \cdot z_{4} = 15 \\ z_{3} + z_{4} = -8 \end{cases} \begin{cases} z_{3} = -3 \\ z_{4} = -5 \end{cases}\)
\(\begin{cases} y_{3} = \frac{15}{-3} = -5 \\ y_{4} = \frac{15}{-5} = -3 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x_{3} = -\frac{10}{3} \\ x_{4} = -\frac{10}{5} = -2 \end{cases}\)

Ответ: \({x_{1} = \frac{10}{3}}\), \({y_{1} = 5}\), \({z_{1} = 3}\); \({x_{2} = 2}\), \({y_{2} = 3}\), \({z_{2} = 5}\); \({x_{3} = -\frac{10}{3}}\), \({y_{3} = -5}\), \({z_{3} = -3}\); \({x_{4} = -2}\), \({y_{4} = -3}\), \({z_{4} = -5}\).

2) \(\begin{cases} yz + xz = 16 \\ xy + yz = 15 \\ xz + xy = 7 \end{cases}\) \(\begin{cases} z(x + y) = 16 \\ y(z + x) = 15 \\ x(z + y) = 7 \end{cases}\)

Вычтем из первого уравнения второе:

\(xz - xy = 1\)
\(x(z - y) = 1\)

Вычтем из второго уравнения третье:

\(yz - xz = 8\)
\(z(y - x) = 8\)

Вычтем из первого уравнения третье:

\(yz - xy = 9\)
\(y(z - x) = 9\)
\(\begin{cases} z(x + y) = 16 \\ (z + x) \cdot y = 15 \\ x \cdot (z + y) = 7 \end{cases} \begin{cases} z(y - x) = 8 \\ y(z - x) = 9 \\ x(z - y) = 1 \end{cases}\)
\(x = \dfrac{7}{z + y}, x = \dfrac{1}{z - y}\)
\(\dfrac{7}{z + y} = \dfrac{1}{z - y}\)
\(7(z - y) = z + y\)
\(7z - 7y = z + y\)
\(6z = 8y, z = \dfrac{8y}{6}\)
\(y = \dfrac{15}{x + z} = \dfrac{9}{z - x}\)
\(15(z - x) = 9(z + x)\)
\(15z - 15x = 9z + 9x\)
\(6z = 24x, z = \dfrac{24x}{6} = 4x\)
\(z = \dfrac{16}{x + y} = \dfrac{8}{y - x}\)
\(16(y - x) = 8(x + y)\)
\(16y - 16x = 8x + 8y\)
\(8y = 24x, y = \dfrac{24x}{8} = 3x\)
\(\begin{cases} z = 4x \\ y = 3x \\ z = \frac{8y}{6} \end{cases}\)

Вычтем из первого уравнения второе:

\((z - y) = x\)

Подставим полученное значение в уравнение \(x \cdot (z - y) = 1\)

\(x^{2} = 1\)
\(x_{1{,}2} = \pm 1\)
\(z_{1} = \dfrac{8 \cdot 3}{6} = 4\)
\(z_{2} = \dfrac{8 \cdot (-3)}{6} = -4\)

Ответ: \(x_{1} = 1\), \(y_{1} = 3\), \(z_{1} = 4\); \(x_{2} = -1\), \(y_{2} = -3\), \(z_{2} = -4\).