Страница 31 номер 31, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением

1) \(\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1 \\ x + y = 4 \end{cases}\)

Если \((x,y)\) – решение этой системы, то \(x \neq 0\) и \(y \neq 0\) по области допустимых значений

\(\begin{cases} \frac{y + x}{xy} = 1 \\ y + x = 4 \end{cases} \begin{cases} y + x = 4 \\ xy = 4 \end{cases}\)
\(\dfrac{4}{xy} = 1\)
\(xy = 4\)

Решим систему уравнений, воспользовавшись теоремой, обратной теореме Виета:

\(z^{2} - 4z + 4 = 0, (z - 2)^{2} = 0\)
\(\begin{cases} z_{1} = 2 \\ z_{2} = 2 \end{cases}\) \(\begin{cases} x_{1} = 2 \\ y_{1} = 2 \end{cases}\) \(\begin{cases} x_{2} = \text{нет} \\ y_{2} = \text{нет} \end{cases}\), поскольку \(x_{1} = y_{1}\)

Ответ: \(x_{1} = 2\), \(y_{1} = 2\).

2) \(\begin{cases} \frac{x + y}{x - y} = \frac{3}{2} \\ xy = 80 \end{cases}\)

Выразим из первого уравнения \(x\) через \(y\) и подставим результат во второе уравнение:

\(x + y = \dfrac{3}{2}(x - y)\)
\(x - \dfrac{3}{2}x = -y - \dfrac{3}{2}y\)
\(-\dfrac{1}{2}x = -\dfrac{5}{2}y\)
\(\begin{cases} x = 5y \\ xy = 80 \end{cases}\)
\(5y^{2} = 80\)
\(y^{2} = 16\)
\(y_{1{,}2} = \pm 4\)
\(x_{1{,}2} = \pm 20\)

Ответ: \(x_{1} = 20\), \(y_{1} = 4\); \(x_{2} = -20\), \(y_{2} = -4\).

3) \(\begin{cases} x - y = 3 \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = -0{,}3 \end{cases}\)

Приведем второе уравнение системы к общему знаменателю:

\(\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y} = \dfrac{y - x}{xy} = \dfrac{-(x - y)}{xy}\)
\(\dfrac{(x - y)}{xy} = 0{,}3\)

Подставим сюда значение для \((x - y)\) и выразим \(y\) через \(x\):

\(\dfrac{3}{xy} = \dfrac{3}{10}, xy = 10, y = \dfrac{10}{x}\)
\(x - \dfrac{10}{x} = 3 |\cdot x\)
\(x^{2} - 3x - 10 = 0\)

Решим данное уравнение, воспользовавшись теоремой Виета:

\(\begin{cases} x_{1} \cdot x_{2} = -10 \\ x_{1} + x_{2} = 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x_{1} = 5 \\ x_{2} = -2 \end{cases}\)
\(\begin{cases} y_{1} = 2 \\ y_{2} = -5 \end{cases}\)

Ответ: \(x_{1} = 5\), \(y_{1} = 2\), \(x_{2} = -2\), \(y_{2} = -5\).

4) \(\begin{cases} x + y = 9 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 0{,}5 \end{cases}\)

Приведем второе уравнение системы к общему знаменателю:

\(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{y + x}{xy}\)
\(\dfrac{(x + y)}{xy} = 0{,}5\)

Подставим сюда значение для \((x + y)\) и выразим \(y\) через \(x\):

\(\dfrac{9}{xy} = \dfrac{5}{10}, xy = 18, y = \dfrac{18}{x}\)

Решим систему уравнений, воспользовавшись теоремой, обратной теореме Виета:

\(\begin{cases} x + y = 9 \\ xy = 18 \end{cases} \Rightarrow z^{2} - 9z + 18 = 0\)
\(\begin{cases} z_{1} = 6 \\ z_{2} = 3 \end{cases} \begin{cases} z_{1} + z_{2} = 9 \\ z_{1}z_{2} = 18 \end{cases} \begin{cases} x_{1} = 6 \\ y_{1} = 3 \end{cases} \begin{cases} x_{2} = 3 \\ y_{2} = 6 \end{cases}\)

Ответ: \(x_{1} = 6\), \(y_{1} = 3\), \(x_{2} = 3\), \(y_{2} = 6\).