Страница 21 номер 18, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением

1) \((2x + 1) \cdot (x^{3} + 1) + x^{2} = 2x \cdot (x^{3} + 3) - 5\)

Раскроем скобки в левой и правой частях уравнения:

\(2x^{4} + 2x + x^{3} + 1 + x^{2} = 2x^{4} + 6x - 5\)

Перенесем все члены уравнения в его левую часть:

\(2x^{4} + 2x + x^{3} + 1 + x^{2} - 2x^{4} - 6x + 5 = 0\)
\(x^{3} + x^{2} - 4x + 6 = 0\)
\(P_{3}(x) = x^{3} + x^{2} - 4x + 6\)

Найдем корни этого уравнения среди делителей числа 6:

\(P_{3}(-1) = -1 + 1 + 4 + 6 \neq 0\)
\(P_{3}(2) = 8 + 4 - 8 + 6 \neq 0\)
\(P_{3}(-2) = -8 + 4 + 8 + 6 \neq 0\)
\(P_{3}(3) = 27 + 9 - 12 + 6 \neq 0\)
\(P_{3}(-3) = -27 + 9 + 12 + 6 = 0\)
\(x = -3\) – корень данного уравнения

Разделим \(P_{3}(x)\) на \((x + 3)\)

\(P_{3}(x) = (x + 3)(x^{2} - 2x + 2) = 0\)
\(x^{2} - 2x + 2 = 0\)
\(D = b^{2} - 4ac = 4 - 4 \cdot 2 = 4 - 8 < 0\) – следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней

Ответ: \(x = -3\).

2) \((2x^{2} - 1)^{2} + x(2x - 1)^{2} = (x + 1)^{2} + 16x^{2} - 6\)

Раскроем скобки в левой и правой частях уравнения:

\(4x^{4} - 4x^{2} + 1 + x(4x^{2} - 4x + 1) = x^{2} + 2x + 1 + 16x^{2} - 6\)

Перенесем все члены уравнения в его левую часть:

\(4x^{4} - 4x^{2} + 1 + 4x^{3} - 4x^{2} + x - x^{2} - 2x - 1 - 16x^{2} + 6 = 0\)
\(4x^{4} + 4x^{3} - 25x^{2} - x + 6 = 0\)
\(P_{4}(x) = 4x^{4} + 4x^{3} - 25x^{2} - x + 6\)

Найдем корни этого уравнения среди делителей числа 6:

\(P_{4}(2) = 102 - 102 = 0\)
\(x_{1} = 2\) – корень данного уравнения

Разделим \(P_{4}(x)\) на \((x - 2)\)

\(M_{3}(x) = 4x^{3} + 12x^{2} - x - 3\)

Разложим \(M_{3}(x)\) на множители, используя способ группировки:

\(4x^{3} + 12x^{2} - x - 3 = 4x^{2}(x + 3) - (x + 3) = (4x^{2} - 1) \cdot (x + 3)\)

Чтобы найти оставшиеся корни, приравняем \(M_{3}(x)\) к нулю:

\((4x^{2} - 1) \cdot (x + 3) = 0\)
\(4x^{2} - 1 = 0\) или \(x_{2} = -3\)
\(x^{2} = \dfrac{1}{4}\)
\(x_{3{,}4} = \pm \sqrt{\dfrac{1}{4}} = \pm \dfrac{1}{2}\)

Ответ: \(x_{1} = 2\), \(x_{2} = -3\), \(x_{3{,}4} = \pm \frac{1}{2}\).

3) \(x^{2}(x - 2) \cdot (6x + 1) + x(5x + 3) = 1\)
\((x^{3} - 2x^{2})(6x + 1) + x(5x + 3) = 1\)

Раскроем скобки и перенесем все члены уравнения в его левую часть:

\(6x^{4} + x^{3} - 12x^{3} - 2x^{2} + 5x^{2} + 3x - 1 = 0\)
\(6x^{4} - 11x^{3} + 3x^{2} + 3x - 1 = 0\)
\(P_{4}(x) = 6x^{4} - 11x^{3} + 3x^{2} + 3x - 1\)

Найдем корни этого уравнения среди делителей числа \(-1\):

\(P_{4}(1) = 6 - 11 + 3 + 3 - 1 = 0\)
\(P_{4}(-1) = 6 + 11 + 3 - 3 - 1 \neq 0\)
\(x_{1} = 1\) – корень данного уравнения

Разделим \(P_{4}(x)\) на \((x - 1)\)

\(M_{3}(x) = 6x^{3} - 5x^{2} - 2x + 1\)
\(6x^{3} - 5x^{2} - 2x + 1 = 0\)

Чтобы найти остальные корни, решим уравнение, используя метод группировки:

\(6x^{3} - 6x^{2} + x^{2} - 2x + 1 = 0\)
\(x^{2} - 2x + 1 = (x - 1)^{2}\) по формуле квадрата разности
\(6x^{2} \cdot (x - 1) + (x - 1)^{2} = 0\)
\((x - 1) \cdot (6x^{2} + x - 1) = 0\)
\(x_{1} = 1\) или \(6x^{2} + x - 1 = 0\)
\(D = b^{2} - 4ac = 1 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25\)
\(\sqrt{D} = 5\)
\(x_{2} = \dfrac{-1 + 5}{12} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}\)
\(x_{3} = \dfrac{-1 - 5}{12} = \dfrac{-6}{12} = -\dfrac{1}{2}\)

Ответ: \(x_{1} = 1\), \(x_{2} = \frac{1}{3}\), \(x_{3} = -\frac{1}{2}\).

4) \(x^{2}(3x + 1) - (x^{2} + 1)^{2} = 3\)

Раскроем скобки и перенесем все члены уравнения в его левую часть:

\(3x^{3} + x^{2} - (x^{4} + 2x^{2} + 1) - 3 = 0\)
\(3x^{3} + x^{2} - x^{4} - 2x^{2} - 1 - 3 = 0\)
\(-x^{4} + 3x^{3} - x^{2} - 4 = 0\)
\(x^{4} - 3x^{3} + x^{2} + 4 = 0\)
\(P_{4}(x) = x^{4} - 3x^{3} + x^{2} + 4\)

Найдем корни этого уравнения среди делителей числа 4:

\(P_{4}(1) = 1 - 3 + 1 + 4 \neq 0\)
\(P_{4}(-1) = 1 + 3 + 1 + 4 \neq 0\)
\(P_{4}(2) = 16 - 24 + 4 + 4 = 0\)
\(x = 2\) – корень данного уравнения

Разделим \(P_{4}(x)\) на \((x - 2)\)

Чтобы найти остальные корни, решим уравнение:

\(M_{3}(x) = x^{3} - x^{2} - x - 2\)
\(x^{3} - x^{2} - x - 2 = 0\)

Разложим левую часть уравнения на множители, используя метод группировки:

\(x^{3} - 2x^{2} + x^{2} - x - 2 = 0\)
\(x^{2}(x - 2) + (x^{2} - x - 2) = 0\)

Квадратный трехчлен \(x^{2} - x - 2\) можно разложить на множители, используя теорему Виета для нахождения его корней:

\(x^{2} - x - 2 = 0\)
\(\begin{cases} x_{1}x_{2} = -2 \\ x_{1} + x_{2} = 1 \end{cases} \begin{cases} x_{1} = 2 \\ x_{2} = -1 \end{cases}\)
\(x^{2} - x - 2 = (x + 1)(x - 2)\)
\(x^{2}(x - 2) + (x - 2)(x + 1) = 0\)
\((x - 2)(x^{2} + x + 1) = 0\)
\(x = 2\) или \(x^{2} + x + 1 = 0\)
\(D = b^{2} - 4ac = 1 - 4 < 0\) – следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней

Ответ: \(x = 2\).