Страница 16 номер 15, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
Уравнение \(ax^3 - 2x^2 - 5x + b = 0\) имеет корни \(x_1 = 1\), \(x_2 = -2\). Найти \(a\), \(b\) и третий корень этого уравнения.
\(P_{3}(x) = ax^{3} - 2x^{2} - 5x + b\)
Если \(x_{1} = 1\) и \(x_{2} = -2\) – корни многочлена \(P_{3}(x)\), то данный многочлен должен нацело делиться на
\((x - 1) \cdot (x + 2) = x^{2} + 2x - x - 2 = x^{2} + x - 2\)
Выполним деление уголком \(P_{3}(x)\) на \((x^{2} + x - 2)\):
Найдем искомые коэффициенты, решив следующие уравнения:
\(2a - 5 = -2 - a\)
\(3a = 3\)
\(a = 1\)
\(b = -2(-2 - a) = -2(-2 - 1) = -2(-3) = 6\)
По формуле деления должно выполняться равенство:
\(P_{3}(x) = M(x) \cdot (x^{2} + x - 2)\)
\(M(x) = \dfrac{P_{3}(x)}{x^{2} + x - 2} = ax - (2 + a)\)
\(ax - (2 + a) = 0\)
\(x - (2 + 1) = 0\)
\(x - 3 = 0\)
\(x_{3} = 3\) – корень данного уравнения
Ответ: \(a = 1\), \(b = 6\), \(x_{3} = 3\).
