Страница 16 номер 14, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
Решить уравнение: 1) \(x^5 - x^4 - 7x^3 + 7x^2 + 12x - 12 = 0\); 2) \(2x^5 - 3x^4 - 7x^3 + 8x^2 + 6x - 4 = 0\); 3) \(x^6 + x^5 - 7x^4 - 5x^3 + 16x^2 + 6x - 12 = 0\); 4) \(9x^6 + 6x^5 - 17x^4 - 12x^3 + 7x^2 + 6x + 1 = 0\).
1) \(x^{5} - x^{4} - 7x^{3} + 7x^{2} + 12x - 12 = 0\)
\(P_{5}(x) = x^{5} - x^{4} - 7x^{3} + 7x^{2} + 12x - 12\)
Выпишем все делители числа \(-12\): \(1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12, -12\)
Делаем проверку:
\(P_{5}(1) = 1 - 1 - 7 + 7 + 12 - 12 = 0\)
\(x_{1} = 1\) - это корень уравнения
Выполним деление уголком многочлена \(P_{5}(x)\) на двучлен \((x - 1)\):
Найдем корни уравнения \(x^{4} - 7x^{2} + 12 = 0\)
Введем новую переменную: \(x^{2} = b\)
\(b^{2} - 7b + 12 = 0\)
Применив теорему Виета, найдем
\(\begin{cases} b_{1} \cdot b_{2} = 12 \\ b_{1} + b_{2} = 7 \end{cases}\)
\(\begin{cases} b_{1} = 4 \\ b_{2} = 3 \end{cases}\)
\(x^{2} = 4\)
\(x_{2} = 2\)
\(x_{3} = -2\)
\(x^{2} = 3\)
\(x_{4{,}5} = \pm\sqrt{3}\)
Ответ: \(x_{1} = 1\), \(x_{2{,}3} = \pm 2\), \(x_{4{,}5} = \pm\sqrt{3}\).
2) \(2x^{5} - 3x^{4} - 7x^{3} + 8x^{2} + 6x - 4 = 0\)
\(P_{5}(x) = 2x^{5} - 3x^{4} - 7x^{3} + 8x^{2} + 6x - 4\)
Выпишем все делители числа \(-4\): \(1, -1, 2, -2, 4, -4\)
Делаем проверку:
\(P_{5}(2) = 64 - 48 - 56 + 32 + 12 - 4 = 0\)
\(x_{1} = 2\) - это корень уравнения
Выполним деление уголком многочлена \(P_{5}(x)\) на двучлен \((x - 2)\):
\(M_{4}(x) = 2x^{4} + x^{3} - 5x^{2} - 2x + 2\)
Найдем корни данного многочлена-частного среди делителей числа 2
\(M_{4}(-1) = 2 - 1 - 5 + 2 + 2 = 0\)
\(x_{2} = -1\) - это корень многочлена \(M_{4}(x)\)
Разделим \(M_{4}(x)\) на двучлен \((x + 1)\):
\(M_{3}(x) = 2x^{3} - x^{2} - 4x + 2 = 0\)
Найдем остальные корни нашего уравнения приравняв \(M_{3}(x)\) к нулю
Используя метод группировки, разложим \(M_{3}(x)\) на множители:
\(2x^{3} - x^{2} - 4x + 2 = 0\)
\(x^{2} \cdot (2x - 1) - 2 \cdot (2x - 1) = 0\)
\((2x - 1) \cdot (x^{2} - 2) = 0\)
\(2x = 1\)
\(x_{3} = \dfrac{1}{2}\)
\(x^{2} - 2 = 0\)
\(x^{2} = 2\)
\(x_{4{,}5} = \pm\sqrt{2}\)
Ответ: \(x_{1} = 2\), \(x_{2} = -1\), \(x_{3} = \frac{1}{2}\), \(x_{4{,}5} = \pm\sqrt{2}\).
3) \(x^{6} + x^{5} - 7x^{4} - 5x^{3} + 16x^{2} + 6x - 12 = 0\)
\(P_{6}(x) = x^{6} + x^{5} - 7x^{4} - 5x^{3} + 16x^{2} + 6x - 12\)
Выпишем все делители числа \(-12\): \(1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12, -12\)
Делаем проверку:
\(P_{6}(1) = 1 + 1 - 7 - 5 + 16 + 6 - 12 = 0\)
\(x_{1} = 1\) - это корень уравнения
Выполним деление уголком многочлена \(P_{6}(x)\) на двучлен \((x - 1)\):
\(M_{5}(x) = x^{5} + 2x^{4} - 5x^{3} - 10x^{2} + 6x + 12\)
Разложим \(M_{5}(x)\) на множители, воспользовавшись способом группировки:
\(M_{5}(x) = x^{5} - 5x^{3} + 6x + 2x^{4} - 10x^{2} + 12 =\)
\(= x \cdot (x^{4} - 5x^{2} + 6) + 2 \cdot (x^{4} - 5x^{2} + 6) = (x^{4} - 5x^{2} + 6) \cdot (x + 2)\)
\(M_{5}(x) = 0\)
\((x^{4} - 5x^{2} + 6) \cdot (x + 2) = 0\)
\(x + 2 = 0\) или \(x^{4} - 5x^{2} + 6 = 0\)
\(x_{2} = -2\)
Решим биквадратное уравнение, применив подстановку:
\(x^{2} = t\)
\(t^{2} - 5t + 6 = 0\)
Воспользовавшись теоремой Виета найдем корни получившегося уравнения
\(\begin{cases} t_{1} \cdot t_{2} = 6 \\ t_{1} + t_{2} = 5 \end{cases}\)
\(t_{1} = 3, t_{2} = 2\)
\[\left[ \begin{array}{l} x^{2} = 3 \\ x^{2} = 2 \end{array} \right.\]
\[\left[ \begin{array}{l} x_{3{,}4} = \pm\sqrt{3} \\ x_{5{,}6} = \pm\sqrt{2} \end{array} \right.\]
Ответ: \(x_{1} = 1\), \(x_{2} = -2\), \(x_{3{,}4} = \pm\sqrt{3}\), \(x_{5{,}6} = \pm\sqrt{2}\).
4) \(9x^{6} + 6x^{5} - 17x^{4} - 12x^{3} + 7x^{2} + 6x + 1 = 0\)
\(P_{6}(x) = 9x^{6} + 6x^{5} - 17x^{4} - 12x^{3} + 7x^{2} + 6x + 1\)
Выпишем все делители числа 1: \(1, -1\)
Делаем проверку:
\(P_{6}(1) = 9 + 6 - 17 - 12 + 7 + 6 + 1 = 0\)
\(P_{6}(-1) = 9 - 6 - 17 + 12 + 7 - 6 + 1 = 0\)
\(x_{1} = 1\), \(x_{2} = -1\) – корни уравнения
Найдем произведение делителей многочлена \(P_{6}(x)\):
\((x + 1) \cdot (x - 1) = x^{2} - 1\)
Выполним деление уголком многочлена \(P_{6}(x)\) на двучлен \((x^{2} - 1)\):
\(P_{6}(x) = (x^{2} - 1) \cdot (9x^{4} + 6x^{3} - 8x^{2} - 6x - 1)\)
\(M_{4}(x) = 9x^{4} + 6x^{3} - 8x^{2} - 6x - 1 = 0\)
Найдем корни многочлена-частного среди делителей числа \(-1\):
\(M_{4}(1) = 0\)
\(M_{4}(-1) = 0\)
\(x_{1} = 1\), \(x_{2} = -1\) – корни уравнения
Найдем произведение делителей многочлена \(M_{4}(x)\):
\((x - 1) \cdot (x + 1) = x^{2} - 1\)
\(M_{2}(x) = 9x^{2} + 6x + 1 = 0\)
Используя формулу квадрата суммы, разложим \(M_{2}(x)\) на множители:
\(9x^{2} + 6x + 1 = (3x + 1)^{2}\)
\((3x + 1)^{2} = 0\)
\(3x + 1 = 0\)
\(3x = -1\)
\(x_{3} = -\dfrac{1}{3}\)
Ответ: \(x_{1{,}2} = \pm 1\), \(x_{3} = -\frac{1}{3}\).
