Страница 16 номер 13, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением

1) \(\frac{x^{3} + 2x^{2} + 9}{x^{3} - 2x^{2} + 4x - 3}\)

Разложим на множители числитель и знаменатель дроби

Перебирая делители числа 9, найдем целый корень числителя \(x = -3\)

Разделим числитель на \((x + 3)\):

\(x^{3} + 2x^{2} + 9 = (x + 3) \cdot (x^{2} - x + 3)\)

Перебирая делители числа \(-3\), найдем целый корень знаменателя \(x = 1\)

Разделим знаменатель на \((x - 1)\):

\(x^{3} - 2x^{2} + 4x - 3 = (x - 1) \cdot (x^{2} - x + 3)\)
\(\dfrac{x^{3} + 2x^{2} + 9}{x^{3} - 2x^{2} + 4x - 3} = \dfrac{(x + 3) \cdot (x^{2} - x + 3)}{(x - 1) \cdot (x^{2} - x + 3)} = \dfrac{x + 3}{x - 1}\)

Ответ: \(\frac{x + 3}{x - 1}\).

2) \(\frac{x^{3} + 2x^{2} + 2x + 1}{2x^{3} + x^{2} + 1}\)

Разложим на множители числитель и знаменатель дроби

\(x = -1\) – корень числителя дроби

Разделим числитель дроби на двучлен \((x + 1)\):

\(x^{3} + 2x^{2} + 2x + 1 = (x + 1) \cdot (x^{2} + x + 1)\)
\(x = -1\) – корень знаменателя дроби

\(2x^{3} + x^{2} + 1 = (x + 1) \cdot (2x^{2} - x + 1)\)

Решая уравнение \(x^{2} + x + 1 = 0\), установим, что оно не имеет действительных корней, так как \(D < 0\)

Следовательно, дальнейшее разложение на множители числителя нашей дроби невозможно

\(\dfrac{(x + 1) \cdot (x^{2} + x + 1)}{(x + 1) \cdot (2x^{2} - x + 1)} = \dfrac{x^{2} + x + 1}{2x^{2} - x + 1}\)

Ответ: \(\frac{x^{2} + x + 1}{2x^{2} - x + 1}\).

3) \(\frac{x^{4} - 2x^{3} + x - 2}{2x^{4} - 3x^{3} - x - 6}\)

Используя метод группировки разложим числитель дроби на множители

\(x^{4} - 2x^{3} + x - 2 = x^{3} \cdot (x - 2) + (x - 2) =\)
\(= (x - 2) \cdot (x^{3} + 1) = (x - 2) \cdot (x + 1) \cdot (x^{2} - x + 1)\)

Решая уравнение \(x^{2} - x + 1 = 0\), установим, что оно не имеет действительных корней, так как \(D < 0\)

Следовательно, дальнейшее разложение на множители числителя нашей дроби невозможно

Используя формулу для суммы кубов, мы разложили \((x^{3} + 1)\) на множители:

\(x^{3} + 1 = (x + 1) \cdot (x^{2} - x + 1)\)

Разложим знаменатель дроби на множители

Перебирая делители числа \(-6\), найдем целые корни знаменателя дроби:

\(x_{1} = 2, x_{2} = -1\)

Найдем произведение делителей знаменателя дроби

\((x - 2) \cdot (x + 1) = x^{2} + x - 2x - 2 = x^{2} - x - 2\)

Разделим знаменатель дроби на многочлен \((x^{2} - x - 2)\)

\(2x^{4} - 3x^{3} - x - 6 = (x - 2) \cdot (x + 1) \cdot (2x^{2} - x + 3)\)
\(\dfrac{(x - 2) \cdot (x + 1) \cdot (x^{2} - x + 1)}{(x - 2) \cdot (x + 1) \cdot (2x^{2} - x + 3)} = \dfrac{x^{2} - x + 1}{2x^{2} - x + 3}\)

Ответ: \(\frac{x^{2} - x + 1}{2x^{2} - x + 3}\).

4) \(\frac{2x^{4} - 3x^{3} - 7x^{2} - 5x - 3}{2x^{3} - 5x^{2} - 2x - 3}\)

Разложим на множители числитель и знаменатель дроби

\(x_{1} = 3\), \(x_{2} = -1\) – корни числителя дроби

Найдем произведение делителей числителя дроби

\((x + 1) \cdot (x - 3) = x^{2} - 3x + x - 3 = x^{2} - 2x - 3\)

Разделим числитель дроби на многочлен \((x^{2} - 2x - 3)\)

\(2x^{4} - 3x^{3} - 7x^{2} - 5x - 3 = (x + 1) \cdot (x - 3) \cdot (2x^{2} + x + 1)\)
\(x_{1} = 3\) – корень знаменателя дроби

Разделим знаменатель дроби на двучлен \((x - 3)\):

\(2x^{3} - 5x^{2} - 2x - 3 = (x - 3) \cdot (2x^{2} + x + 1)\)
\(\dfrac{(x + 1) \cdot (x - 3) \cdot (2x^{2} + x + 1)}{(x - 3) \cdot (2x^{2} + x + 1)} = x + 1\)

Ответ: \(x + 1\).