Страница 16 номер 10, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением

1) \(x^{3} - x^{2} - 8x + 6 = 0\)
\(P_{3}(x) = x^{3} - x^{2} - 8x + 6\)

Найдем целые корни алгебраического уравнения среди делителей свободного члена этого уравнения, который равен числу 6.

Делителями числа 6 являются числа: 6, \(-1\), 1, \(-6\), 3, \(-3\), 2, \(-2\)

Делаем проверку:

\(P_{3}(3) = 27 - 9 - 24 + 6 = 0\)

Значит число 3 является корнем этого уравнения, так как \(P_{3}(3) = 0\)

Для того, чтобы найти остальные корни этого уравнения запишем формулу деления многочлена \(P_{3}(x)\) на двучлен \((x - 3)\):

\(P_{3}(x) = M_{2}(x) \cdot (x - 3) + R_{0}\), где \(R_{0} = 0\), так как \(P_{3}(3)\) равно 0
\(P_{3}(x) = M_{2}(x) \cdot (x - 3)\)
\(M_{2}(x) = \dfrac{P_{3}(x)}{x-3}\)

Выполним деление уголком:

\(P_{3}(x) = x^{3} - x^{2} - 8x + 6 = (x - 3) \cdot (x^{2} + 2x - 2) = 0\)
\((x - 3) \cdot (x^{2} + 2x - 2) = 0\)
\(x - 3 = 0\) или \(x^{2} + 2x - 2 = 0\)
\(x_{1} = 3\) \(D = b^{2} - 4ac = 4 - 4 \cdot (-2) = 12\)
\(\sqrt{D} = 2\sqrt{3}\)
\(x_{2} = \dfrac{-2 + 2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} - 1\)
\(x_{3} = -1 - \sqrt{3}\)

Ответ: \(x_{1} = 3\), \(x_{2{,}3} = -1 \pm \sqrt{3}\).

2) \(x^{4} + x^{3} - 4x^{2} - 2x + 4 = 0\)
\(P_{4}(x) = x^{4} + x^{3} - 4x^{2} - 2x + 4\)

Найдем целые корни алгебраического уравнения среди делителей свободного члена этого уравнения, который равен числу 4.

Делителями числа 4 являются числа: \(-1\), 1, \(-4\), 4, 2, \(-2\)

Делаем проверку:

\(P_{4}(2) = 2^{4} + 2^{3} - 4 \cdot 2^{2} - 4 + 4 \neq 0\)
\(P_{4}(-2) = 16 - 8 - 16 + 4 + 4 = 0\)
\(P_{4}(4) = 256 + 64 - 64 - 8 + 4 \neq 0\)
\(P_{4}(1) = 1 + 1 - 4 - 2 + 4 = 0\)
\(P_{4}(-2) = 0\) и \(P_{4}(1) = 0\), следовательно числа \(-2\) и 1 являются корнями этого уравнения.

Найдем произведение соответствующих двучленов, являющихся делителями многочлена \(P_{4}(x)\):

\((x + 2) \cdot (x - 1) = x^{2} + 2x - x - 2 = x^{2} + x - 2\)

Выполним деление уголком многочлена \(P_{4}(x)\) на \((x^{2} + x - 2)\):

\((x^{2} + x - 2) \cdot (x^{2} - 2) = x^{4} + x^{3} - 4x^{2} - 2x + 4 = 0\)
\((x^{2} + x - 2) \cdot (x^{2} - 2) = 0\)
\(x^{2} + x - 2 = 0\) или \(x^{2} = 2\)
\(x_{1{,}2} = -2\) и 1, \(x_{3{,}4} = \pm \sqrt{2}\)

Ответ: \(x_{1{,}2} = -2\) и 1, \(x_{3{,}4} = \pm \sqrt{2}\).

3) \(6x^{3} + 11x^{2} - 3x - 2 = 0\)
\(P_{3}(x) = 6x^{3} + 11x^{2} - 3x - 2\)

Найдем целые корни алгебраического уравнения среди делителей свободного члена этого уравнения, который равен числу \(-2\)

Делителями числа \(-2\) являются числа: \(-1\), 1, \(-2\), 2

Делаем проверку:

\(P_{3}(2) = 48 + 44 - 6 - 2 \neq 0\)
\(P_{3}(-2) = -48 + 44 + 6 - 2 = 0\)

Значит число \(-2\) является корнем этого уравнения, так как \(P_{3}(-2) = 0\)

Выполним деление уголком многочлена \(P_{3}(x)\) на двучлен \((x + 2)\):

\(P_{3}(x) = 6x^{3} + 11x^{2} - 3x - 2 = (x + 2) \cdot (6x^{2} - x - 1) = 0\)
\((x + 2) \cdot (6x^{2} - x - 1) = 0\)
\(x + 2 = 0\) или \(6x^{2} - x - 1 = 0\)
\(x_{1} = -2\) \(D = b^{2} - 4ac = 1 + 24 = 25\)
\(\sqrt{D} = 5\)
\(x_{2{,}3} = \dfrac{+1 \pm 5}{12}\)
\(x_{2} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}\)
\(x_{3} = -\dfrac{4}{12} = -\dfrac{1}{3}\)

Ответ: \(x_{1} = -2\), \(x_{2} = \frac{1}{2}\), \(x_{3} = -\frac{1}{3}\).

4) \(4x^{4} - 8x^{3} + 3x^{2} + 2x - 1 = 0\)
\(P_{4}(x) = 4x^{4} - 8x^{3} + 3x^{2} + 2x - 1\)

Найдем целые корни алгебраического уравнения среди делителей свободного члена этого уравнения, который равен числу \(-1\)

Делителями числа \(-1\) являются числа: \(-1\), 1

Делаем проверку:

\(P_{4}(1) = 4 - 8 + 3 + 2 - 1 = 0\)

Значит число 1 является корнем этого уравнения, так как \(P_{4}(1) = 0\)

Следовательно, двучлен \((x - 1)\) является делителем многочлена \(P_{4}(x)\)

\(M_{3}(x) = \dfrac{P_{4}(x)}{x-1}\)

Выполним деление уголком многочлена \(P_{4}(x)\) на двучлен \((x - 1)\):

\(P_{4}(x) = 4x^{4} - 8x^{3} + 3x^{2} + 2x - 1 =\)
\(= (x - 1) \cdot (4x^{3} - 4x^{2} - x + 1) = 0\)
\((x - 1) \cdot (4x^{3} - 4x^{2} - x + 1) = 0\)
\(x - 1 = 0\) или \(4x^{3} - 4x^{2} - x + 1 = 0\)
\(x_{1} = 1\)

Используя метод группировки, разложим наш многочлен на множители:

\(4x^{2} \cdot (x - 1) - (x - 1) = 0\)
\((x - 1) \cdot (4x^{2} - 1) = 0\)
\(x_{1} = 1\) или \(4x^{2} - 1 = 0\)
\(4x^{2} = 1\)
\(x^{2} = \dfrac{1}{4}\)
\(x_{2{,}3} = \pm \dfrac{1}{2}\)

Ответ: \(x_{1} = 1\), \(x_{2{,}3} = \pm \frac{1}{2}\).