Страница 22 номер 45, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
В Озёрной стране 10 озёр, соединённых между собой двенадцатью каналами, причём из любого озера можно проплыть в любое другое по каналам. Сколько островов в Озёрной стране?
Озёра — вершины графа, каналы — его рёбра; \(v = 10\), \(e = 12\). Из любого озера можно проплыть в любое другое, поэтому граф связный. Каналы друг с другом не пересекаются, они сходятся только в озёрах, поэтому граф плоский. Острова — внутренние области графа; внешняя область — суша вокруг всех озёр и каналов, это не остров.
По формуле Эйлера \(v - e + f = 2\), где \(f\) — число областей: \[\begin{aligned} 10 - 12 + f &= 2; \\ f &= 2 - 10 + 12 = 4. \end{aligned}\]
Одна из четырёх областей — внешняя, поэтому островов \(4 - 1 = 3\).
Ответ: 3 острова.
В Озёрной стране 10 озёр, соединённых между собой двенадцатью каналами, причём из любого озера можно проплыть в любое другое по каналам. Сколько островов в Озёрной стране?
Озёра — вершины графа, каналы — его рёбра: ребро соединяет два озера, если между ними прорыт канал. В графе \(v = 10\) вершин и \(e = 12\) рёбер. Из любого озера можно проплыть в любое другое, поэтому граф связный. Каналы друг с другом не пересекаются, они сходятся только в озёрах, поэтому граф плоский. Острова — участки суши, со всех сторон окружённые каналами и озёрами, то есть внутренние области графа; внешняя область — суша вокруг всех озёр и каналов, это не остров.
По формуле Эйлера \(v - e + f = 2\), где \(f\) — число областей: \[\begin{aligned} 10 - 12 + f &= 2; \\ f &= 2 - 10 + 12 = 4. \end{aligned}\]
Одна из четырёх областей — внешняя, поэтому островов \(4 - 1 = 3\).
Ответ: 3 острова.
