Страница 19 номер 35, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Графом тетраэдра называется граф, в котором четыре вершины и две любые вершины связаны ребром (рис. 34, а). а) Докажите, что граф тетраэдра планарный (достаточно изобразить плоский граф тетраэдра). б) Сколько областей у графа тетраэдра? в) Чему равна степень каждой области?
а) Обозначим вершины графа тетраэдра \(A\), \(B\), \(C\), \(D\). Каждые две из них соединены ребром, всего рёбер 6: \(AB\), \(BC\), \(CA\), \(DA\), \(DB\), \(DC\). Изобразим этот граф так: \(A\), \(B\), \(C\) — вершины треугольника, \(D\) — точка внутри него; рёбра \(AB\), \(BC\), \(CA\) — стороны треугольника, рёбра \(DA\), \(DB\), \(DC\) — отрезки внутри треугольника. В каждую область впишем её степень.
Рёбра не имеют общих точек, кроме вершин, — граф плоский. Значит, граф тетраэдра планарный.
б) Отрезки \(DA\), \(DB\), \(DC\) делят треугольник \(ABC\) на три области: \(ABD\), \(BCD\) и \(CAD\). Четвёртая область — внешняя. Всего у графа тетраэдра 4 области.
в) Граница каждой области состоит из трёх рёбер: у области \(ABD\) — из рёбер \(AB\), \(BD\), \(DA\), у области \(BCD\) — из рёбер \(BC\), \(CD\), \(DB\), у области \(CAD\) — из рёбер \(CA\), \(AD\), \(DC\), у внешней области — из рёбер \(AB\), \(BC\), \(CA\). Значит, степень каждой области равна 3. Проверка: сумма степеней областей \(4 \cdot 3 = 12\) равна удвоенному числу рёбер \(2 \cdot 6 = 12\).
Ответ: а) граф тетраэдра планарный; б) 4 области; в) степень каждой области равна 3.
