Страница 19 номер 37, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Удалите одно ребро из графа к задаче о пяти площадях (рис. 31, а). Докажите, что получившийся граф — планарный.
Обозначим вершины графа пяти площадей \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\) и удалим, например, ребро \(BE\). В графе пяти площадей каждые две вершины соединены ребром, поэтому все его рёбра равноправны: какое бы ребро ни удалили, его концы можно назвать \(B\) и \(E\), а остальные вершины — \(A\), \(C\), \(D\). После удаления ребра \(BE\) остаются 9 рёбер: \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DE\), \(EA\), \(AC\), \(AD\), \(BD\), \(CE\).
Изобразим этот граф так: \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\) — вершины пятиугольника, рёбра \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DE\), \(EA\) — его стороны, рёбра \(AC\) и \(CE\) — отрезки внутри пятиугольника, рёбра \(AD\) и \(BD\) — дуги снаружи: дуга \(AD\) огибает вершину \(E\), дуга \(BD\) огибает вершину \(C\).
Внутри пятиугольника два ребра с общим концом \(C\), снаружи — две дуги, которые огибают разные вершины и встречаются только в \(D\), поэтому рёбра не имеют общих точек, кроме вершин, и граф плоский. Значит, граф, который получается из графа пяти площадей удалением одного ребра, планарный.
Ответ: граф пяти площадей без одного ребра планарный.
