Страница 18 номер 34, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
На рисунке 33 изображён плоский связный граф. Сколько у него областей (включая внешнюю)? Нарисуйте граф в своей тетради и внутри каждой области напишите, чему равна степень этой области.
Изобразим каждый граф и впишем в каждую область её степень.
а) В графе 10 рёбер, одно из них — петля. Областей 5: область внутри петли, верхняя треугольная область, область под ней, ограниченная четырьмя рёбрами, правая нижняя треугольная область и внешняя. Степень области внутри петли равна 1: её граница — одна петля; степень верхней треугольной области — 3, области под ней — 4, правой нижней треугольной — 3. Граница внешней области — шесть рёбер по краю графа, петля и ребро, ведущее к висячей вершине, которое при обходе проходится дважды, поэтому степень внешней области \(6 + 1 + 2 = 9\). Проверка: сумма степеней областей \(1 + 3 + 4 + 3 + 9 = 20\) равна удвоенному числу рёбер \(2 \cdot 10 = 20\).
б) В графе 12 рёбер, два из них — кратные. Областей 6. Степень области между кратными рёбрами равна 2, области правее неё, под верхней дугой, — 4, нижней левой области, ограниченной тремя рёбрами, — 3, маленькой треугольной области справа — 3. Этот треугольник лежит внутри области у большой правой дуги, и граница этой области — три ребра снаружи и три ребра треугольника, её степень \(3 + 3 = 6\). Граница внешней области — шесть рёбер по краю графа, её степень 6. Проверка: сумма степеней областей \(2 + 4 + 3 + 3 + 6 + 6 = 24\) равна удвоенному числу рёбер \(2 \cdot 12 = 24\).
Ответ: а) 5 областей; б) 6 областей.
На рисунке 33 изображён плоский связный граф. Сколько у него областей (включая внешнюю)? Нарисуйте граф в своей тетради и внутри каждой области напишите, чему равна степень этой области.
Оба графа связные и плоские. Изобразим каждый граф и впишем в каждую область её степень — число рёбер её границы; ребро, которое при обходе границы проходится дважды, считается дважды.
а) В графе 10 рёбер, одно из них — петля. Областей 5: область внутри петли, верхняя треугольная область, область под ней, ограниченная четырьмя рёбрами, правая нижняя треугольная область и внешняя. Степень области внутри петли равна 1: её граница — одна петля; степень верхней треугольной области — 3, области под ней — 4, правой нижней треугольной — 3. Граница внешней области — шесть рёбер по краю графа, петля и ребро, ведущее к висячей вершине, которое при обходе проходится дважды, поэтому степень внешней области \(6 + 1 + 2 = 9\). Проверка: сумма степеней областей \(1 + 3 + 4 + 3 + 9 = 20\) равна удвоенному числу рёбер \(2 \cdot 10 = 20\).
б) В графе 12 рёбер, два из них — кратные: соединяют одни и те же две вершины. Областей 6. Степень области между кратными рёбрами равна 2, области правее неё, под верхней дугой, — 4, нижней левой области, ограниченной тремя рёбрами, — 3, маленькой треугольной области справа — 3. Этот треугольник лежит внутри области у большой правой дуги, и граница этой области — три ребра снаружи и три ребра треугольника, её степень \(3 + 3 = 6\). Граница внешней области — шесть рёбер по краю графа, её степень 6. Проверка: сумма степеней областей \(2 + 4 + 3 + 3 + 6 + 6 = 24\) равна удвоенному числу рёбер \(2 \cdot 12 = 24\).
Ответ: а) 5 областей; б) 6 областей.
