Страница 19 номер 36, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Графом куба называется граф, состоящий из восьми вершин, которые связаны между собой рёбрами так же, как вершины в кубе (рис. 34, б). а) Докажите, что граф куба планарный (достаточно нарисовать плоский граф куба). б) Найдите количество областей. в) Чему равна степень каждой области графа куба?
а) Обозначим вершины передней грани куба \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), а вершины задней грани — \(E\), \(F\), \(G\), \(H\) так, что рёбра куба, идущие от передней грани к задней, — \(AE\), \(BF\), \(CG\), \(DH\). Рёбра графа куба: стороны передней грани \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\), стороны задней грани \(EF\), \(FG\), \(GH\), \(HE\) и рёбра \(AE\), \(BF\), \(CG\), \(DH\) — всего 12. Изобразим этот граф так: \(ABCD\) — большой квадрат, \(EFGH\) — маленький квадрат внутри него, рёбра \(AE\), \(BF\), \(CG\), \(DH\) — отрезки, соединяющие соответствующие углы квадратов. В каждую область впишем её степень.
Рёбра не имеют общих точек, кроме вершин, — граф плоский. Значит, граф куба планарный.
б) Областей 6: внутренний квадрат \(EFGH\), четыре четырёхугольника \(ABFE\), \(BCGF\), \(CDHG\), \(DAEH\) между квадратами и внешняя область.
в) Граница каждой области состоит из четырёх рёбер: у области \(EFGH\) — из рёбер \(EF\), \(FG\), \(GH\), \(HE\), у области \(ABFE\) — из рёбер \(AB\), \(BF\), \(FE\), \(EA\), у области \(BCGF\) — из рёбер \(BC\), \(CG\), \(GF\), \(FB\), у области \(CDHG\) — из рёбер \(CD\), \(DH\), \(HG\), \(GC\), у области \(DAEH\) — из рёбер \(DA\), \(AE\), \(EH\), \(HD\), у внешней области — из рёбер \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\). Значит, степень каждой области равна 4. Проверка: сумма степеней областей \(6 \cdot 4 = 24\) равна удвоенному числу рёбер \(2 \cdot 12 = 24\).
Ответ: а) граф куба планарный; б) 6 областей; в) степень каждой области равна 4.
