Страница 48 номер 5.8, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равен \(60^\circ\), \(|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1\). Вычислите скалярное произведение \((5\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 5\vec{b})\).
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos 60^\circ = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\); \(\vec{a}^2 = |\vec{a}|^2 = 1\), \(\vec{b}^2 = |\vec{b}|^2 = 1\). \[\begin{aligned} &(5\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 5\vec{b}) = 5\vec{a}^2 - 25\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{b} - 5\vec{b}^2 = {} \\ &= 5\vec{a}^2 - 24\vec{a} \cdot \vec{b} - 5\vec{b}^2 = 5 \cdot 1 - 24 \cdot \frac{1}{2} - 5 \cdot 1 = -12. \end{aligned}\]
Ответ: \((5\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 5\vec{b}) = -12\).
Угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равен \(60^\circ\), \(|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1\). Вычислите скалярное произведение \((5\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 5\vec{b})\).
По определению скалярного произведения \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos 60^\circ = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\). Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля: \(\vec{a}^2 = |\vec{a}|^2 = 1\), \(\vec{b}^2 = |\vec{b}|^2 = 1\). Раскроем скобки по свойствам скалярного произведения: \[\begin{aligned} &(5\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 5\vec{b}) = 5\vec{a}^2 - 25\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{b} - 5\vec{b}^2 = {} \\ &= 5\vec{a}^2 - 24\vec{a} \cdot \vec{b} - 5\vec{b}^2 = 5 \cdot 1 - 24 \cdot \frac{1}{2} - 5 \cdot 1 = -12. \end{aligned}\]
Ответ: \((5\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 5\vec{b}) = -12\).
