Страница 48 номер 5.1, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), точка \(O\) — центр грани \(ABCD\). Грань \(ABCD\) — квадрат, а \(O\) — точка пересечения его диагоналей \(AC\) и \(BD\). Диагонали квадрата перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам, поэтому \(\angle ACD = \angle ABD = 45^\circ\).
1) Угол между векторами \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{CD}\). Отложим от точки \(C\) вектор \(\overrightarrow{CK}\), равный вектору \(\overrightarrow{AC}\): точка \(K\) лежит на продолжении отрезка \(AC\) за точку \(C\), и \(CK = AC\). Векторы \(\overrightarrow{CK}\) и \(\overrightarrow{CD}\) отложены от одной точки, а угол \(KCD\) смежный с углом \(ACD\), поэтому \[\angle(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{CD}) = \angle KCD = 180^\circ - \angle ACD = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ.\]
2) Угол между векторами \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BO}\). Точка \(O\) — середина диагонали \(BD\), поэтому \(\overrightarrow{BO} = \overrightarrow{OD}\). Точка \(O\) лежит на отрезке \(AC\), поэтому вектор, равный вектору \(\overrightarrow{AC}\) и отложенный от точки \(O\), направлен по лучу \(OC\). Значит, \(\angle(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BO}) = \angle COD = 90^\circ\), так как диагонали квадрата перпендикулярны.
3) Угол между векторами \(\overrightarrow{AA_1}\) и \(\overrightarrow{BO}\). Грань \(AA_1B_1B\) — квадрат, поэтому \(\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{BB_1}\). Ребро \(BB_1\) куба перпендикулярно плоскости \(ABCD\), а значит, и прямой \(BO\), лежащей в этой плоскости. Векторы \(\overrightarrow{BB_1}\) и \(\overrightarrow{BO}\) отложены от одной точки, поэтому \(\angle(\overrightarrow{AA_1}, \overrightarrow{BO}) = \angle B_1BO = 90^\circ\).
4) Угол между векторами \(\overrightarrow{AA_1}\) и \(\overrightarrow{CC_1}\). Грани \(AA_1D_1D\) и \(DD_1C_1C\) — квадраты, поэтому \(\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{CC_1}\). Равные ненулевые векторы сонаправлены, значит, \(\angle(\overrightarrow{AA_1}, \overrightarrow{CC_1}) = 0^\circ\).
5) Угол между векторами \(\overrightarrow{AA_1}\) и \(\overrightarrow{B_1B}\). Вектор \(\overrightarrow{AA_1}\) равен вектору \(\overrightarrow{BB_1}\), а векторы \(\overrightarrow{BB_1}\) и \(\overrightarrow{B_1B}\) противоположно направлены. Значит, \(\overrightarrow{AA_1} \uparrow\downarrow \overrightarrow{B_1B}\) и \(\angle(\overrightarrow{AA_1}, \overrightarrow{B_1B}) = 180^\circ\).
6) Угол между векторами \(\overrightarrow{BO}\) и \(\overrightarrow{CD}\). Грань \(ABCD\) — квадрат, поэтому \(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA}\). Векторы \(\overrightarrow{BO}\) и \(\overrightarrow{BA}\) отложены от одной точки, поэтому \(\angle(\overrightarrow{BO}, \overrightarrow{CD}) = \angle OBA = \angle DBA = 45^\circ\).
Ответ: 1) \(\angle(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{CD}) = 135^\circ\); 2) \(\angle(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BO}) = 90^\circ\); 3) \(\angle(\overrightarrow{AA_1}, \overrightarrow{BO}) = 90^\circ\); 4) \(\angle(\overrightarrow{AA_1}, \overrightarrow{CC_1}) = 0^\circ\); 5) \(\angle(\overrightarrow{AA_1}, \overrightarrow{B_1B}) = 180^\circ\); 6) \(\angle(\overrightarrow{BO}, \overrightarrow{CD}) = 45^\circ\).
Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), точка \(O\) — центр грани \(ABCD\). Грань \(ABCD\) — квадрат, а \(O\) — точка пересечения его диагоналей \(AC\) и \(BD\). Диагонали квадрата перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам, поэтому \(\angle ACD = \angle ABD = 45^\circ\). Угол между ненулевыми несонаправленными векторами — это величина угла, который образуют равные им векторы, отложенные от одной точки.
1) Угол между векторами \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{CD}\). Отложим от точки \(C\) вектор \(\overrightarrow{CK}\), равный вектору \(\overrightarrow{AC}\): точка \(K\) лежит на продолжении отрезка \(AC\) за точку \(C\), и \(CK = AC\). Векторы \(\overrightarrow{CK}\) и \(\overrightarrow{CD}\) отложены от одной точки, а угол \(KCD\) смежный с углом \(ACD\), поэтому \[\angle(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{CD}) = \angle KCD = 180^\circ - \angle ACD = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ.\]
2) Угол между векторами \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BO}\). Точка \(O\) — середина диагонали \(BD\), поэтому \(\overrightarrow{BO} = \overrightarrow{OD}\). Точка \(O\) лежит на отрезке \(AC\), поэтому вектор, равный вектору \(\overrightarrow{AC}\) и отложенный от точки \(O\), направлен по лучу \(OC\). Значит, \(\angle(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BO}) = \angle COD = 90^\circ\), так как диагонали квадрата перпендикулярны.
3) Угол между векторами \(\overrightarrow{AA_1}\) и \(\overrightarrow{BO}\). Грань \(AA_1B_1B\) — квадрат, поэтому \(\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{BB_1}\). Ребро \(BB_1\) куба перпендикулярно плоскости \(ABCD\), а значит, и прямой \(BO\), лежащей в этой плоскости. Векторы \(\overrightarrow{BB_1}\) и \(\overrightarrow{BO}\) отложены от одной точки, поэтому \(\angle(\overrightarrow{AA_1}, \overrightarrow{BO}) = \angle B_1BO = 90^\circ\).
4) Угол между векторами \(\overrightarrow{AA_1}\) и \(\overrightarrow{CC_1}\). Грани \(AA_1D_1D\) и \(DD_1C_1C\) — квадраты, поэтому \(\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{CC_1}\). Равные ненулевые векторы сонаправлены, значит, \(\angle(\overrightarrow{AA_1}, \overrightarrow{CC_1}) = 0^\circ\).
5) Угол между векторами \(\overrightarrow{AA_1}\) и \(\overrightarrow{B_1B}\). Вектор \(\overrightarrow{AA_1}\) равен вектору \(\overrightarrow{BB_1}\), а векторы \(\overrightarrow{BB_1}\) и \(\overrightarrow{B_1B}\) противоположно направлены. Значит, \(\overrightarrow{AA_1} \uparrow\downarrow \overrightarrow{B_1B}\) и \(\angle(\overrightarrow{AA_1}, \overrightarrow{B_1B}) = 180^\circ\).
6) Угол между векторами \(\overrightarrow{BO}\) и \(\overrightarrow{CD}\). Грань \(ABCD\) — квадрат, поэтому \(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA}\). Векторы \(\overrightarrow{BO}\) и \(\overrightarrow{BA}\) отложены от одной точки, поэтому \(\angle(\overrightarrow{BO}, \overrightarrow{CD}) = \angle OBA = \angle DBA = 45^\circ\).
Ответ: 1) \(\angle(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{CD}) = 135^\circ\); 2) \(\angle(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BO}) = 90^\circ\); 3) \(\angle(\overrightarrow{AA_1}, \overrightarrow{BO}) = 90^\circ\); 4) \(\angle(\overrightarrow{AA_1}, \overrightarrow{CC_1}) = 0^\circ\); 5) \(\angle(\overrightarrow{AA_1}, \overrightarrow{B_1B}) = 180^\circ\); 6) \(\angle(\overrightarrow{BO}, \overrightarrow{CD}) = 45^\circ\).
