Страница 48 номер 5.7, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равен \(120^\circ\), \(|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1\). Вычислите скалярное произведение \((\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot (4\vec{a} - 7\vec{b})\).
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos 120^\circ = 1 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2}\); \(\vec{a}^2 = |\vec{a}|^2 = 1\), \(\vec{b}^2 = |\vec{b}|^2 = 1\). \[\begin{aligned} &(\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot (4\vec{a} - 7\vec{b}) = 4\vec{a}^2 - 7\vec{a} \cdot \vec{b} + 12\vec{a} \cdot \vec{b} - 21\vec{b}^2 = {} \\ &= 4\vec{a}^2 + 5\vec{a} \cdot \vec{b} - 21\vec{b}^2 = 4 \cdot 1 + 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) - 21 \cdot 1 = -19{,}5. \end{aligned}\]
Ответ: \((\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot (4\vec{a} - 7\vec{b}) = -19{,}5\).
Угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равен \(120^\circ\), \(|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1\). Вычислите скалярное произведение \((\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot (4\vec{a} - 7\vec{b})\).
По определению скалярного произведения \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos 120^\circ = 1 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2}\). Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля: \(\vec{a}^2 = |\vec{a}|^2 = 1\), \(\vec{b}^2 = |\vec{b}|^2 = 1\). Раскроем скобки по свойствам скалярного произведения: \[\begin{aligned} &(\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot (4\vec{a} - 7\vec{b}) = 4\vec{a}^2 - 7\vec{a} \cdot \vec{b} + 12\vec{a} \cdot \vec{b} - 21\vec{b}^2 = {} \\ &= 4\vec{a}^2 + 5\vec{a} \cdot \vec{b} - 21\vec{b}^2 = 4 \cdot 1 + 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) - 21 \cdot 1 = -19{,}5. \end{aligned}\]
Ответ: \((\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot (4\vec{a} - 7\vec{b}) = -19{,}5\).
