Вопросы после параграфа §5 на странице 47, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Пусть \(\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}\). Если от точки \(O\) отложить векторы \(\overrightarrow{OA} = \vec{a}\) и \(\overrightarrow{OB} = \vec{b}\), то точки \(A\) и \(B\) окажутся на одной прямой по разные стороны от точки \(O\), и угол \(AOB\) будет развёрнутым. Поэтому если \(\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}\), то \(\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 180^\circ\).

Ответ: угол между двумя противоположно направленными векторами равен \(180^\circ\).

Если \(\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}\), то считают, что \(\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 0^\circ\). Если хотя бы один из векторов \(\vec{a}\) или \(\vec{b}\) нулевой, то также считают, что \(\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 0^\circ\).

Ответ: угол между двумя сонаправленными векторами считают равным \(0^\circ\).

Если векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) ненулевые и несонаправленные, то угол между ними — это величина угла \(AOB\), где \(\overrightarrow{OA} = \vec{a}\) и \(\overrightarrow{OB} = \vec{b}\); она больше \(0^\circ\) и не больше \(180^\circ\) (равна \(180^\circ\), если \(\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}\)). Если же векторы сонаправлены или хотя бы один из них нулевой, то угол между ними считают равным \(0^\circ\). Значит, для любых двух векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) имеет место неравенство \(0^\circ \leqslant \angle(\vec{a}, \vec{b}) \leqslant 180^\circ\).

Ответ: угол между любыми векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) находится в пределах от \(0^\circ\) до \(180^\circ\): \(0^\circ \leqslant \angle(\vec{a}, \vec{b}) \leqslant 180^\circ\).

Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) называют перпендикулярными, если угол между ними равен \(90^\circ\). Пишут: \(\vec{a} \perp \vec{b}\).

Ответ: векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) называют перпендикулярными, если угол между ними равен \(90^\circ\).

Скалярным произведением двух векторов называют произведение их модулей и косинуса угла между ними. Скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) обозначают так: \(\vec{a} \cdot \vec{b}\). Имеем: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \angle(\vec{a}, \vec{b})\). Если хотя бы один из векторов \(\vec{a}\) или \(\vec{b}\) нулевой, то \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\).

Ответ: скалярным произведением двух векторов называют произведение их модулей и косинуса угла между ними: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \angle(\vec{a}, \vec{b})\).

Скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{a}\) называют скалярным квадратом вектора \(\vec{a}\) и обозначают \(\vec{a}^2\). Угол между вектором \(\vec{a}\) и им самим равен \(0^\circ\), поэтому \(\vec{a}^2 = |\vec{a}||\vec{a}| \cos 0^\circ = |\vec{a}|^2\).

Ответ: скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля: \(\vec{a}^2 = |\vec{a}|^2\).

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. Если ненулевые векторы заданы координатами, \(\vec{a}(a_1; a_2; a_3)\) и \(\vec{b}(b_1; b_2; b_3)\), то \(\vec{a} \perp \vec{b}\) тогда и только тогда, когда \(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = 0\).

Ответ: скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Скалярное произведение векторов \(\vec{a}(a_1; a_2; a_3)\) и \(\vec{b}(b_1; b_2; b_3)\) можно вычислить по формуле \(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3\).

Ответ: скалярное произведение векторов равно сумме произведений их соответствующих координат: для векторов \(\vec{a}(a_1; a_2; a_3)\) и \(\vec{b}(b_1; b_2; b_3)\) имеем \(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3\).

Для любых векторов \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) и любого числа \(k\) справедливы равенства: 1) \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\); 2) \((k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})\); 3) \((\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}\). Эти свойства вместе со свойствами сложения векторов и умножения вектора на число позволяют преобразовывать выражения, содержащие скалярное произведение векторов, по правилам преобразования алгебраических выражений. Например, \((\vec{a} - \vec{b})^2 = \vec{a}^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b}^2\).

Ответ: для любых векторов \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) и любого числа \(k\) справедливы равенства: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\); \((k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})\); \((\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}\).