Страница 48 номер 5.5, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равен \(45^\circ\), \(|\vec{a}| = 3\), \(|\vec{b}| = 3\sqrt{2}\). Найдите: 1) \((\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b}\); 2) \((2\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{a}\); 3) \((\vec{a} - \vec{b})^2\).
\[\begin{aligned} \vec{a} \cdot \vec{b} &= |\vec{a}||\vec{b}| \cos 45^\circ = 3 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 9; \\ \vec{a}^2 &= |\vec{a}|^2 = 3^2 = 9; \\ \vec{b}^2 &= |\vec{b}|^2 = (3\sqrt{2})^2 = 18. \end{aligned}\]
1) \[(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b}^2 = 9 + 18 = 27.\]
2) \[(2\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{a} = 2\vec{a}^2 - \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 9 - 9 = 9.\]
3) \[(\vec{a} - \vec{b})^2 = \vec{a}^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b}^2 = 9 - 2 \cdot 9 + 18 = 9.\]
Ответ: 1) \((\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b} = 27\); 2) \((2\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{a} = 9\); 3) \((\vec{a} - \vec{b})^2 = 9\).
Угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равен \(45^\circ\), \(|\vec{a}| = 3\), \(|\vec{b}| = 3\sqrt{2}\). Найдите: 1) \((\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b}\); 2) \((2\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{a}\); 3) \((\vec{a} - \vec{b})^2\).
Найдём скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) по определению и их скалярные квадраты (скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля): \[\begin{aligned} \vec{a} \cdot \vec{b} &= |\vec{a}||\vec{b}| \cos 45^\circ = 3 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 9; \\ \vec{a}^2 &= |\vec{a}|^2 = 3^2 = 9; \\ \vec{b}^2 &= |\vec{b}|^2 = (3\sqrt{2})^2 = 18. \end{aligned}\]
По свойствам скалярного произведения скобки раскрываются по правилам преобразования алгебраических выражений.
1) \[(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b}^2 = 9 + 18 = 27.\]
2) \[(2\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{a} = 2\vec{a}^2 - \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 9 - 9 = 9.\]
3) \[(\vec{a} - \vec{b})^2 = \vec{a}^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b}^2 = 9 - 2 \cdot 9 + 18 = 9.\]
Ответ: 1) \((\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b} = 27\); 2) \((2\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{a} = 9\); 3) \((\vec{a} - \vec{b})^2 = 9\).
