Страница 12 номер 1.31, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Докажите, что четырёхугольник \(ABCD\) с вершинами в точках \(A(4; 2; 10)\), \(B(10; -2; 8)\), \(C(4; -4; 4)\) и \(D(-2; 0; 6)\) является ромбом.
Середина диагонали \(AC\) имеет абсциссу \(\frac{4 + 4}{2} = 4\), ординату \(\frac{2 + (-4)}{2} = -1\) и аппликату \(\frac{10 + 4}{2} = 7\). Середина диагонали \(BD\) имеет абсциссу \(\frac{10 + (-2)}{2} = 4\), ординату \(\frac{-2 + 0}{2} = -1\) и аппликату \(\frac{8 + 6}{2} = 7\). Значит, середины диагоналей совпадают — это точка \(M(4; -1; 7)\).
Диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(M\), поэтому лежат в одной плоскости; точкой пересечения каждая из них делится пополам. Четырёхугольник, диагонали которого точкой пересечения делятся пополам, — параллелограмм, поэтому \(ABCD\) — параллелограмм.
\[\begin{aligned} AB &= \sqrt{(10 - 4)^2 + (-2 - 2)^2 + (8 - 10)^2} = \sqrt{36 + 16 + 4} = \sqrt{56}; \\ BC &= \sqrt{(4 - 10)^2 + (-4 + 2)^2 + (4 - 8)^2} = \sqrt{36 + 4 + 16} = \sqrt{56}. \end{aligned}\] Соседние стороны \(AB\) и \(BC\) параллелограмма \(ABCD\) равны, а параллелограмм, у которого две соседние стороны равны, — ромб.
Ответ: четырёхугольник \(ABCD\) — ромб.
Докажите, что четырёхугольник \(ABCD\) с вершинами в точках \(A(4; 2; 10)\), \(B(10; -2; 8)\), \(C(4; -4; 4)\) и \(D(-2; 0; 6)\) является ромбом.
Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов. Середина диагонали \(AC\) имеет абсциссу \(\frac{4 + 4}{2} = 4\), ординату \(\frac{2 + (-4)}{2} = -1\) и аппликату \(\frac{10 + 4}{2} = 7\). Середина диагонали \(BD\) имеет абсциссу \(\frac{10 + (-2)}{2} = 4\), ординату \(\frac{-2 + 0}{2} = -1\) и аппликату \(\frac{8 + 6}{2} = 7\). Значит, середины диагоналей совпадают — это точка \(M(4; -1; 7)\).
Диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(M\), поэтому лежат в одной плоскости; точкой пересечения каждая из них делится пополам. Четырёхугольник, диагонали которого точкой пересечения делятся пополам, — параллелограмм, поэтому \(ABCD\) — параллелограмм.
По формуле расстояния между двумя точками \[\begin{aligned} AB &= \sqrt{(10 - 4)^2 + (-2 - 2)^2 + (8 - 10)^2} = \sqrt{36 + 16 + 4} = \sqrt{56}; \\ BC &= \sqrt{(4 - 10)^2 + (-4 + 2)^2 + (4 - 8)^2} = \sqrt{36 + 4 + 16} = \sqrt{56}. \end{aligned}\] Соседние стороны \(AB\) и \(BC\) параллелограмма \(ABCD\) равны, а параллелограмм, у которого две соседние стороны равны, — ромб.
Ответ: четырёхугольник \(ABCD\) — ромб.
