Страница 12 номер 1.34, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точки \(D(-1; 2; 4)\), \(E(5; -2; 1)\) и \(F(3; -3; 5)\) являются серединами сторон некоторого треугольника. Найдите вершины этого треугольника.
Обозначим вершины треугольника буквами \(A\), \(B\) и \(C\) так, чтобы точка \(D\) была серединой стороны \(AB\), точка \(E\) — серединой стороны \(BC\), а точка \(F\) — серединой стороны \(CA\). Пусть \(A(x_1; y_1; z_1)\), \(B(x_2; y_2; z_2)\), \(C(x_3; y_3; z_3)\).
Для абсцисс: \(x_1 + x_2 = 2 \cdot (-1) = -2\), \(x_2 + x_3 = 2 \cdot 5 = 10\), \(x_3 + x_1 = 2 \cdot 3 = 6\). Сложив эти равенства, получим \(2(x_1 + x_2 + x_3) = 14\), \(x_1 + x_2 + x_3 = 7\). Отсюда \(x_3 = 7 - (-2) = 9\), \(x_1 = 7 - 10 = -3\), \(x_2 = 7 - 6 = 1\).
Для ординат: \(y_1 + y_2 = 2 \cdot 2 = 4\), \(y_2 + y_3 = 2 \cdot (-2) = -4\), \(y_3 + y_1 = 2 \cdot (-3) = -6\). Сложив эти равенства, получим \(2(y_1 + y_2 + y_3) = -6\), \(y_1 + y_2 + y_3 = -3\). Отсюда \(y_3 = -3 - 4 = -7\), \(y_1 = -3 - (-4) = 1\), \(y_2 = -3 - (-6) = 3\).
Для аппликат: \(z_1 + z_2 = 2 \cdot 4 = 8\), \(z_2 + z_3 = 2 \cdot 1 = 2\), \(z_3 + z_1 = 2 \cdot 5 = 10\). Сложив эти равенства, получим \(2(z_1 + z_2 + z_3) = 20\), \(z_1 + z_2 + z_3 = 10\). Отсюда \(z_3 = 10 - 8 = 2\), \(z_1 = 10 - 2 = 8\), \(z_2 = 10 - 10 = 0\).
Значит, вершины треугольника — точки \(A(-3; 1; 8)\), \(B(1; 3; 0)\) и \(C(9; -7; 2)\).
Ответ: \(A(-3; 1; 8)\), \(B(1; 3; 0)\), \(C(9; -7; 2)\).
Точки \(D(-1; 2; 4)\), \(E(5; -2; 1)\) и \(F(3; -3; 5)\) являются серединами сторон некоторого треугольника. Найдите вершины этого треугольника.
Обозначим вершины треугольника буквами \(A\), \(B\) и \(C\) так, чтобы точка \(D\) была серединой стороны \(AB\), точка \(E\) — серединой стороны \(BC\), а точка \(F\) — серединой стороны \(CA\). Пусть \(A(x_1; y_1; z_1)\), \(B(x_2; y_2; z_2)\), \(C(x_3; y_3; z_3)\). Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.
Для абсцисс: \(x_1 + x_2 = 2 \cdot (-1) = -2\), \(x_2 + x_3 = 2 \cdot 5 = 10\), \(x_3 + x_1 = 2 \cdot 3 = 6\). Сложив эти равенства, получим \(2(x_1 + x_2 + x_3) = 14\), \(x_1 + x_2 + x_3 = 7\). Отсюда \(x_3 = 7 - (-2) = 9\), \(x_1 = 7 - 10 = -3\), \(x_2 = 7 - 6 = 1\).
Для ординат: \(y_1 + y_2 = 2 \cdot 2 = 4\), \(y_2 + y_3 = 2 \cdot (-2) = -4\), \(y_3 + y_1 = 2 \cdot (-3) = -6\). Сложив эти равенства, получим \(2(y_1 + y_2 + y_3) = -6\), \(y_1 + y_2 + y_3 = -3\). Отсюда \(y_3 = -3 - 4 = -7\), \(y_1 = -3 - (-4) = 1\), \(y_2 = -3 - (-6) = 3\).
Для аппликат: \(z_1 + z_2 = 2 \cdot 4 = 8\), \(z_2 + z_3 = 2 \cdot 1 = 2\), \(z_3 + z_1 = 2 \cdot 5 = 10\). Сложив эти равенства, получим \(2(z_1 + z_2 + z_3) = 20\), \(z_1 + z_2 + z_3 = 10\). Отсюда \(z_3 = 10 - 8 = 2\), \(z_1 = 10 - 2 = 8\), \(z_2 = 10 - 10 = 0\).
Значит, вершины треугольника — точки \(A(-3; 1; 8)\), \(B(1; 3; 0)\) и \(C(9; -7; 2)\).
Ответ: \(A(-3; 1; 8)\), \(B(1; 3; 0)\), \(C(9; -7; 2)\).
