Страница 12 номер 1.30, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Докажите, что четырёхугольник \(ABCD\) с вершинами в точках \(A(-2; 3; -1)\), \(B(-2; 7; -6)\), \(C(-1; 7; -6)\) и \(D(-1; 3; -1)\) является прямоугольником.
Середина диагонали \(AC\) имеет абсциссу \(\frac{-2 + (-1)}{2} = -1{,}5\), ординату \(\frac{3 + 7}{2} = 5\) и аппликату \(\frac{-1 + (-6)}{2} = -3{,}5\). Середина диагонали \(BD\) имеет абсциссу \(\frac{-2 + (-1)}{2} = -1{,}5\), ординату \(\frac{7 + 3}{2} = 5\) и аппликату \(\frac{-6 + (-1)}{2} = -3{,}5\). Значит, середины диагоналей совпадают — это точка \(M(-1{,}5; 5; -3{,}5)\).
Диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(M\), поэтому лежат в одной плоскости; точкой пересечения каждая из них делится пополам. Четырёхугольник, диагонали которого точкой пересечения делятся пополам, — параллелограмм, поэтому \(ABCD\) — параллелограмм.
\[\begin{aligned} AC &= \sqrt{(-1 + 2)^2 + (7 - 3)^2 + (-6 + 1)^2} = \sqrt{1 + 16 + 25} = \sqrt{42}; \\ BD &= \sqrt{(-1 + 2)^2 + (3 - 7)^2 + (-1 + 6)^2} = \sqrt{1 + 16 + 25} = \sqrt{42}. \end{aligned}\] Диагонали параллелограмма \(ABCD\) равны, а параллелограмм, у которого диагонали равны, — прямоугольник.
Ответ: четырёхугольник \(ABCD\) — прямоугольник.
Докажите, что четырёхугольник \(ABCD\) с вершинами в точках \(A(-2; 3; -1)\), \(B(-2; 7; -6)\), \(C(-1; 7; -6)\) и \(D(-1; 3; -1)\) является прямоугольником.
Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов. Середина диагонали \(AC\) имеет абсциссу \(\frac{-2 + (-1)}{2} = -1{,}5\), ординату \(\frac{3 + 7}{2} = 5\) и аппликату \(\frac{-1 + (-6)}{2} = -3{,}5\). Середина диагонали \(BD\) имеет абсциссу \(\frac{-2 + (-1)}{2} = -1{,}5\), ординату \(\frac{7 + 3}{2} = 5\) и аппликату \(\frac{-6 + (-1)}{2} = -3{,}5\). Значит, середины диагоналей совпадают — это точка \(M(-1{,}5; 5; -3{,}5)\).
Диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(M\), поэтому лежат в одной плоскости; точкой пересечения каждая из них делится пополам. Четырёхугольник, диагонали которого точкой пересечения делятся пополам, — параллелограмм, поэтому \(ABCD\) — параллелограмм.
По формуле расстояния между двумя точками \[\begin{aligned} AC &= \sqrt{(-1 + 2)^2 + (7 - 3)^2 + (-6 + 1)^2} = \sqrt{1 + 16 + 25} = \sqrt{42}; \\ BD &= \sqrt{(-1 + 2)^2 + (3 - 7)^2 + (-1 + 6)^2} = \sqrt{1 + 16 + 25} = \sqrt{42}. \end{aligned}\] Диагонали параллелограмма \(ABCD\) равны, а параллелограмм, у которого диагонали равны, — прямоугольник.
Ответ: четырёхугольник \(ABCD\) — прямоугольник.
