Страница 12 номер 1.33, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Найдите точку, расстояние от которой до плоскости \(xy\) равно 2 и равноудалённую от точек \(A(1; 0; 0)\), \(B(0; 1; 0)\) и \(C(0; 0; 1)\).
Пусть \(M(x; y; z)\) — искомая точка. Её проекция на плоскость \(xy\) — точка \(M_1(x; y; 0)\) с теми же абсциссой и ординатой, поэтому расстояние от точки \(M\) до плоскости \(xy\) равно \(MM_1 = \sqrt{(x - x)^2 + (y - y)^2 + (0 - z)^2} = \sqrt{z^2} = |z|\). По условию \(|z| = 2\).
Расстояния неотрицательны, поэтому условие \(MA = MB = MC\) равносильно условию \(MA^2 = MB^2 = MC^2\). \[\begin{aligned} MA^2 &= (x - 1)^2 + y^2 + z^2; \\ MB^2 &= x^2 + (y - 1)^2 + z^2; \\ MC^2 &= x^2 + y^2 + (z - 1)^2. \end{aligned}\]
Из равенства \(MA^2 = MB^2\) получаем \(x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + y^2 - 2y + 1\), откуда \(-2x = -2y\), то есть \(x = y\). Из равенства \(MA^2 = MC^2\) так же получаем \(x = z\). Значит, \(x = y = z\).
Так как \(|z| = 2\), то \(z = 2\) или \(z = -2\). Получаем две точки: \((2; 2; 2)\) и \((-2; -2; -2)\).
Ответ: \(M(2; 2; 2)\) или \(M(-2; -2; -2)\).
Найдите точку, расстояние от которой до плоскости \(xy\) равно 2 и равноудалённую от точек \(A(1; 0; 0)\), \(B(0; 1; 0)\) и \(C(0; 0; 1)\).
Пусть \(M(x; y; z)\) — искомая точка. Её проекция на плоскость \(xy\) — точка \(M_1(x; y; 0)\) с теми же абсциссой и ординатой, поэтому расстояние от точки \(M\) до плоскости \(xy\) равно \(MM_1 = \sqrt{(x - x)^2 + (y - y)^2 + (0 - z)^2} = \sqrt{z^2} = |z|\). По условию \(|z| = 2\).
Расстояния неотрицательны, поэтому условие \(MA = MB = MC\) равносильно условию \(MA^2 = MB^2 = MC^2\). По формуле расстояния между двумя точками \[\begin{aligned} MA^2 &= (x - 1)^2 + y^2 + z^2; \\ MB^2 &= x^2 + (y - 1)^2 + z^2; \\ MC^2 &= x^2 + y^2 + (z - 1)^2. \end{aligned}\]
Из равенства \(MA^2 = MB^2\) получаем \(x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + y^2 - 2y + 1\), откуда \(-2x = -2y\), то есть \(x = y\). Из равенства \(MA^2 = MC^2\) так же получаем \(x = z\). Значит, \(x = y = z\).
Так как \(|z| = 2\), то \(z = 2\) или \(z = -2\). Получаем две точки: \((2; 2; 2)\) и \((-2; -2; -2)\).
Ответ: \(M(2; 2; 2)\) или \(M(-2; -2; -2)\).
