Вопросы к пункту 1 «Неравенство Маркова» на странице 4, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича вероятность и статистика
Вопросы к пункту 1 «Неравенство Маркова».
Все значения величины должны быть не меньше нуля, иначе неравенство может нарушаться. Пусть \(X\) принимает значения \(-1\) и \(1\) с вероятностями \(\frac{1}{2}\) и \(\frac{1}{2}\); \(E(X) = -1 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} = 0\).
При \(\delta = 1\) правая часть неравенства Маркова равна \(\frac{0}{1} = 0\), а \(P(X \geqslant 1) = \frac{1}{2} > 0\).
Ответ: неравенство Маркова справедливо для неотрицательных случайных величин, имеющих математическое ожидание.
Если неотрицательная случайная величина \(X\) имеет математическое ожидание \(E(X)\), то для любого числа \(\delta > 0\)
\[P(X \geqslant \delta) \leqslant \frac{E(X)}{\delta}.\]
Например, \(X\) — время ожидания автобуса, мин, в среднем 4 мин: \(X \geqslant 0\), \(E(X) = 4\), и \(P(X \geqslant 20) \leqslant \frac{4}{20} = 0{,}2\) — прождать 20 мин и больше можно с вероятностью не больше \(0{,}2\).
Ответ: \(P(X \geqslant \delta) \leqslant \frac{E(X)}{\delta}\), где \(X\) — неотрицательная случайная величина, имеющая математическое ожидание, а \(\delta > 0\) — любое число.
Пусть случайная величина \(X\) неотрицательна и \(E(X) = a\), где \(a > 0\). Подставляем в неравенство Маркова \(\delta = 2a\), \(3a\), \(4a\) и т. д. — эти числа положительны, так как \(a > 0\); например, \(P(X \geqslant 2a) \leqslant \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}\).
\[\begin{aligned} P(X \geqslant 2a) &\leqslant \frac{1}{2}; \\ P(X \geqslant 3a) &\leqslant \frac{1}{3}; \\ P(X \geqslant 4a) &\leqslant \frac{1}{4} \text{ и т. д.} \end{aligned}\]
Ответ: если \(X \geqslant 0\) и \(E(X) = a > 0\), то \(P(X \geqslant 2a) \leqslant \frac{1}{2}\), \(P(X \geqslant 3a) \leqslant \frac{1}{3}\), \(P(X \geqslant 4a) \leqslant \frac{1}{4}\) и т. д.
Вопросы к пункту 1 «Неравенство Маркова».
Неравенство Маркова справедливо для неотрицательных случайных величин, имеющих математическое ожидание: все значения величины должны быть не меньше нуля. Неотрицательны, например, масса, время ожидания, число посетителей. Неотрицательность используется в доказательстве: математическое ожидание \(E(X) = x_1p_1 + x_2p_2 + \ldots + x_np_n\) не меньше суммы тех слагаемых, у которых \(x_i \geqslant \delta\), потому что остальные слагаемые неотрицательны; если же значения бывают отрицательными, это рассуждение не проходит.
Без этого условия неравенство может нарушаться. Например, пусть величина \(X\) принимает значения \(-1\) и \(1\) с вероятностями \(\frac{1}{2}\) и \(\frac{1}{2}\). Тогда \(E(X) = -1 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} = 0\), и при \(\delta = 1\) правая часть неравенства Маркова равна \(\frac{0}{1} = 0\), а \(P(X \geqslant 1) = \frac{1}{2} > 0\).
Ответ: неравенство Маркова справедливо для неотрицательных случайных величин, имеющих математическое ожидание.
Если неотрицательная случайная величина \(X\) имеет математическое ожидание \(E(X)\), то для любого числа \(\delta > 0\)
\[P(X \geqslant \delta) \leqslant \frac{E(X)}{\delta}.\]
Неравенство оценивает сверху вероятность того, что величина примет значение не меньше \(\delta\). Например, пусть \(X\) — время ожидания автобуса в минутах и в среднем оно равно 4 мин, т. е. \(X \geqslant 0\) и \(E(X) = 4\). Тогда \(P(X \geqslant 20) \leqslant \frac{4}{20} = 0{,}2\): прождать 20 мин и больше можно с вероятностью не больше \(0{,}2\).
Ответ: \(P(X \geqslant \delta) \leqslant \frac{E(X)}{\delta}\), где \(X\) — неотрицательная случайная величина, имеющая математическое ожидание, а \(\delta > 0\) — любое число.
Пусть случайная величина \(X\) неотрицательна и \(E(X) = a\), где \(a > 0\). Тогда
\[\begin{aligned} P(X \geqslant 2a) &\leqslant \frac{1}{2}; \\ P(X \geqslant 3a) &\leqslant \frac{1}{3}; \\ P(X \geqslant 4a) &\leqslant \frac{1}{4} \text{ и т. д.} \end{aligned}\]
Следствие получается подстановкой в неравенство Маркова \(\delta = 2a\), \(3a\), \(4a\) и т. д.: например, \(P(X \geqslant 2a) \leqslant \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}\). Условие \(a > 0\) нужно, чтобы эти числа \(\delta\) были положительными. Словами: вероятность того, что неотрицательная величина окажется хотя бы вдвое больше своего математического ожидания, не превосходит \(\frac{1}{2}\), хотя бы втрое — не превосходит \(\frac{1}{3}\). Например, если автобуса ждут в среднем 4 мин, то прождать 8 мин и больше можно с вероятностью не больше \(\frac{1}{2}\), а 12 мин и больше — с вероятностью не больше \(\frac{1}{3}\).
Ответ: если \(X \geqslant 0\) и \(E(X) = a > 0\), то \(P(X \geqslant 2a) \leqslant \frac{1}{2}\), \(P(X \geqslant 3a) \leqslant \frac{1}{3}\), \(P(X \geqslant 4a) \leqslant \frac{1}{4}\) и т. д.
