Страница 143 номер 12.23, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Докажите, что \(CD_1 \perp AB_1C_1\).
Все грани куба — квадраты, поэтому ребро \(B_1C_1\) перпендикулярно рёбрам \(C_1D_1\) и \(C_1C\), которые пересекаются в точке \(C_1\). Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(B_1C_1 \perp CC_1D_1\). Прямая \(CD_1\) лежит в плоскости \(CC_1D_1\), поэтому \(B_1C_1 \perp CD_1\).
Аналогично \(AD \perp CC_1D_1\). Значит, отрезок \(AD\) — перпендикуляр к плоскости \(CC_1D_1\), отрезок \(AC_1\) — наклонная, а отрезок \(DC_1\) — её проекция на эту плоскость. Прямая \(CD_1\) принадлежит плоскости \(CC_1D_1\) и перпендикулярна проекции \(DC_1\) (диагонали квадрата \(DCC_1D_1\) перпендикулярны), следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах \(CD_1 \perp AC_1\).
Прямая \(CD_1\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(AC_1\) и \(B_1C_1\) плоскости \(AB_1C_1\), следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(CD_1 \perp AB_1C_1\).
Ответ: прямая \(CD_1\) перпендикулярна плоскости \(AB_1C_1\).
Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Докажите, что \(CD_1 \perp AB_1C_1\).
Плоскость \(AB_1C_1\) содержит прямые \(AC_1\) и \(B_1C_1\), пересекающиеся в точке \(C_1\). Докажем, что прямая \(CD_1\) перпендикулярна каждой из них.
Все грани куба — квадраты, поэтому ребро \(B_1C_1\) перпендикулярно рёбрам \(C_1D_1\) и \(C_1C\), которые пересекаются в точке \(C_1\). Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(B_1C_1 \perp CC_1D_1\). Прямая \(CD_1\) лежит в плоскости \(CC_1D_1\), поэтому \(B_1C_1 \perp CD_1\).
Аналогично ребро \(AD\) перпендикулярно рёбрам \(DC\) и \(DD_1\), которые пересекаются в точке \(D\), поэтому \(AD \perp CC_1D_1\). Значит, отрезок \(AD\) — перпендикуляр к плоскости \(CC_1D_1\), отрезок \(AC_1\) — наклонная, а отрезок \(DC_1\) — её проекция на эту плоскость. Прямая \(CD_1\) принадлежит плоскости \(CC_1D_1\) и перпендикулярна проекции \(DC_1\) (диагонали квадрата \(DCC_1D_1\) перпендикулярны), следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах \(CD_1 \perp AC_1\).
Прямая \(CD_1\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(AC_1\) и \(B_1C_1\) плоскости \(AB_1C_1\), следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(CD_1 \perp AB_1C_1\).
Ответ: прямая \(CD_1\) перпендикулярна плоскости \(AB_1C_1\).
