Страница 50 номер 222, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
Известно, что \(a\) — чётное число, \(b\) — нечётное, \(a > b\). Значение какого из данных выражений может быть целым числом: 1) \(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\); 2) \(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}\); 3) \(\frac{a}{b}\); 4) \(\frac{b}{a}\)?
Пусть \(a = 2n;\ b = 2k + 1;\ a > b;\ 2n > 2k + 1\)
1) \(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^{2} + b^{2}}{ab} = \frac{4n^{2} + 4k^{2} + 4k + 1}{2n(2k + 1)} = \frac{2\left( 2n^{2} + 2k^{2} + 2k \right) + 1}{2n(2k + 1)} = \frac{\text{нечетное}}{\text{четное}}\)
Нечетное число на четное нацело не делится, т.е. значение выражения не может быть целым числом.
2) \(\frac{a}{b} - \frac{b}{a} = \frac{a^{2} - b^{2}}{ab} = \frac{4n^{2} - 4k^{2} - 4k - 1}{2n(2k + 1)} = \frac{2\left( 2n^{2} - 2k^{2} - 2k \right) - 1}{2n(2k + 1)} = \frac{\text{нечетное}}{\text{четное}}\)
Данное выражение не может быть целым числом, т.к. нечетное число на четное нацело не делится.
3) \(\frac{a}{b} = \frac{2n}{2k + 1} = \frac{\text{четное}}{\text{нечетное}}\)
Четное число может делиться на нечетное нацело, например, \(\frac{24}{3} = 8\)
4) \(\frac{b}{a} = \frac{2k + 1}{2n} = \frac{\text{нечетное}}{\text{четное}}\), нечетное число на четное нацело не делится, т.е. выражение не может быть целым числом.
Ответ: 1) не может быть целым числом; 2) не может быть целым числом; 3) Может быть целым числом; 4) не может быть целым числом.
