Вопросы после параграфа §7 на страницах 56-57, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

Пусть \(X\) — множество значений независимой переменной, \(Y\) — множество значений зависимой переменной. Функция — это правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной из множества \(X\) можно найти единственное значение зависимой переменной из множества \(Y\).

Например, площадь \(S\) квадрата зависит от длины \(a\) его стороны: \(S = a^2\). Правило «длину стороны возвести в квадрат» по каждому положительному значению \(a\) даёт единственное значение \(S\): при \(a = 3\) получаем \(S = 9\), при \(a = 0{,}5\) получаем \(S = 0{,}25\). Значит, эта зависимость — функция.

А правило «каждому положительному числу поставить в соответствие число, квадрат которого равен данному» функцией не является: числу 4 оно ставит в соответствие сразу два числа — 2 и \(-2\), так как \(2^2 = 4\) и \((-2)^2 = 4\).

Ответ: функция — это правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной можно найти единственное значение зависимой переменной.

Независимую переменную обычно обозначают буквой \(x\), зависимую — буквой \(y\), а функцию (правило) — буквой \(f\). Тот факт, что переменная \(y\) функционально зависит от переменной \(x\), записывают так: \(y = f(x)\).

Например, запись \(f(x) = 3x^2 - 1\) задаёт правило: значение \(x\) возвести в квадрат, умножить на 3 и вычесть 1. При \(x = 2\) получаем \(y = f(2) = 3 \cdot 2^2 - 1 = 11\).

Ответ: \(y = f(x)\), где буквой \(f\) обозначают функцию.

Аргументом функции называют независимую переменную.

Например, у функции \(y = \sqrt{x + 1}\) аргумент — переменная \(x\), а у функции \(S = a^2\), выражающей площадь квадрата через длину его стороны, аргумент — длина стороны \(a\).

Ответ: независимую переменную.

Областью определения функции называют множество всех значений, которые принимает аргумент. Её обозначают \(D(f)\) или \(D(y)\).

Например, аргумент функции \(y = \frac{1}{x - 2}\) может принимать любые значения, кроме числа 2: при \(x = 2\) знаменатель дроби равен нулю. Значит, \(D(y) = (-\infty;\ 2) \cup (2;\ +\infty)\). А у функции \(S = a^2\), выражающей площадь квадрата через длину его стороны, аргумент принимает только положительные значения — длина стороны не может быть нулём или отрицательным числом. Поэтому \(D(S) = (0;\ +\infty)\).

Ответ: множество всех значений, которые принимает аргумент.

Значением функции называют значение зависимой переменной, соответствующее данному значению аргумента. Значение функции \(f\) при значении аргумента \(x\) обозначают \(f(x)\).

Например, если \(f(x) = x^2 - 4x\), то значение функции при \(x = 3\) равно \(f(3) = 3^2 - 4 \cdot 3 = 9 - 12 = -3\), а при \(x = -1\) равно \(f(-1) = (-1)^2 - 4 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5\).

Ответ: значение зависимой переменной, соответствующее данному значению аргумента; его обозначают \(f(x)\).

Областью значений функции называют множество всех значений, которые принимает зависимая переменная. Её обозначают \(E(f)\) или \(E(y)\).

Например, найдём область значений функции \(y = x^2 + 2\). При любом \(x\) выполняется неравенство \(x^2 \geqslant 0\), поэтому \(x^2 + 2 \geqslant 2\): значений, меньших 2, функция не принимает. Любое число \(b \geqslant 2\) является её значением: при \(x = \sqrt{b - 2}\) получаем \(y = (\sqrt{b - 2})^2 + 2 = b - 2 + 2 = b\). Значит, \(E(y) = [2;\ +\infty)\).

Ответ: множество всех значений, которые принимает зависимая переменная.

Функцию считают заданной, если указаны её область определения и правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной можно найти значение зависимой переменной.

Например, правило «число возвести в квадрат» вместе с областью определения, состоящей из чисел 1, 2 и 3, задаёт функцию, которая принимает только три значения: 1, 4 и 9. То же правило с областью определения \((-\infty;\ +\infty)\) задаёт другую функцию — \(y = x^2\), её область значений — промежуток \([0;\ +\infty)\). Одного правила недостаточно: нужно знать, к каким значениям аргумента его применяют.

Ответ: если указаны её область определения и правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной можно найти значение зависимой переменной.

Функцию можно задать одним из следующих способов: описательно (словами), с помощью формулы, с помощью таблицы, графически. Чаще всего функцию задают с помощью формулы; такой способ задания функции называют аналитическим.

Например, одну и ту же функцию, область определения которой состоит из чисел 1, 2, 3, 4, можно задать каждым из этих способов.

Описательно: каждому из чисел 1, 2, 3, 4 ставится в соответствие число, вдвое большее.

С помощью формулы: \(y = 2x\), где \(x\) принимает значения 1, 2, 3, 4.

С помощью таблицы:

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline y & 2 & 4 & 6 & 8 \\ \hline \end{array}\]

Графически: графиком функции являются четыре точки координатной плоскости — \((1;\ 2)\), \((2;\ 4)\), \((3;\ 6)\), \((4;\ 8)\).

Ответ: описательно (словами), с помощью формулы (аналитически), с помощью таблицы, графически.

Если функция задана формулой и её область определения не указана, то областью определения функции считают область определения выражения, входящего в формулу, т. е. множество всех значений переменной, при которых это выражение имеет смысл.

Например, выражение \(\sqrt{2x - 6}\) имеет смысл, если \(2x - 6 \geqslant 0\), т. е. \(2x \geqslant 6\), \(x \geqslant 3\). Значит, областью определения функции \(f(x) = \sqrt{2x - 6}\) является промежуток \([3;\ +\infty)\).

У функции \(g(x) = \frac{\sqrt{x + 4}}{x - 1}\) подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель — отличным от нуля: \(x + 4 \geqslant 0\) и \(x - 1 \ne 0\), т. е. \(x \geqslant -4\) и \(x \ne 1\). Значит, \(D(g) = [-4;\ 1) \cup (1;\ +\infty)\).

Ответ: область определения выражения, входящего в формулу.