Страница 214 номер 656, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
Доказать неравенство: 1) \(a^2 - ab + b^2 \ge ab\); 2) \(1 + \frac{b}{2} \ge \sqrt{2b}\), если \(b \ge 0\); 3) \(a^2 + a^{-2} \ge 2\), если \(a \ne 0\); 4) \(a^3 + a^{-3} \ge 2\), если \(a > 0\).
1) \(a^{2} - ab + b^{2} \geqslant ab\)
\(a^{2} - 2ab + b^{2} \geqslant 0,\)
\((a - b)^{2} \geqslant 0\) – верно при любых \(a, b\);
2) \(1 + \frac{b}{2} \geqslant \sqrt{2b}\), если \(b \geqslant 0\)
\(1 - \dfrac{2}{\sqrt{2}}\sqrt{b} + \left(\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{2}}\right)^{2} \geqslant 0,\)
\(\left(1 - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{2}}\right)^{2} \geqslant 0\) – верно;
3) \(a^{2} + a^{-2} \geqslant 2\), если \(a \neq 0\)
\(a^{2} - 2a \cdot a^{-1} + a^{-2} \geqslant 0,\)
\(\left(a - a^{-1}\right)^{2} \geqslant 0\) – верно;
4) \(a^{3} + a^{-3} \geqslant 2\), если \(a > 0\)
\(a^{3} - 2a^{\frac{3}{2}} \cdot a^{-\frac{3}{2}} + a^{-3} \geqslant 0,\)
\(\left(a^{\frac{3}{2}} - a^{-\frac{3}{2}}\right)^{2} \geqslant 0\) – верно.
