Страница 60 номер 6.31, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точка \(M\) — середина ребра \(AB\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Точка \(N\) принадлежит ребру \(BC\) и делит его в отношении \(3 : 1\), считая от точки \(B\). Найдите угол между плоскостями \(AB_1N\) и \(DC_1M\).
Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — куб
\(M\) — середина ребра \(AB\)
\(N\) — точка ребра \(BC\), \(BN : NC = 3 : 1\)
Найти: угол между плоскостями \(AB_1N\) и \(DC_1M\).
Решение: Рёбра \(BA\), \(BC\) и \(BB_1\) куба попарно перпендикулярны. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке \(B\), направив оси \(x\), \(y\) и \(z\) по лучам \(BA\), \(BC\) и \(BB_1\); единичный отрезок равен ребру куба.
Тогда \(A(1; 0; 0)\), \(B_1(0; 0; 1)\), \(D(1; 1; 0)\), \(C_1(0; 1; 1)\), \(M\left(\frac{1}{2}; 0; 0\right)\), а так как \(BN = \frac{3}{4}BC\), то \(N\left(0; \frac{3}{4}; 0\right)\).
Векторы \(\overrightarrow{AB_1}\) и \(\overrightarrow{AN}\) имеют координаты \((-1; 0; 1)\) и \(\left(-1; \frac{3}{4}; 0\right)\). Пусть \(\vec{n}(a; b; c)\) — вектор нормали плоскости \(AB_1N\). Он перпендикулярен прямым \(AB_1\) и \(AN\), лежащим в этой плоскости, поэтому \(\vec{n} \cdot \overrightarrow{AB_1} = 0\) и \(\vec{n} \cdot \overrightarrow{AN} = 0\): \[\begin{cases} -a + c = 0, \\ -a + \frac{3}{4}b = 0. \end{cases}\]
Отсюда \(c = a\) и \(b = \frac{4}{3}a\), то есть \(\vec{n}\left(a; \frac{4}{3}a; a\right)\). Тогда вектор \(\vec{n}_1(3; 4; 3)\) коллинеарен вектору нормали плоскости \(AB_1N\), а значит, сам является её вектором нормали.
Векторы \(\overrightarrow{DC_1}\) и \(\overrightarrow{DM}\) имеют координаты \((-1; 0; 1)\) и \(\left(-\frac{1}{2}; -1; 0\right)\). Пусть \(\vec{m}(p; q; r)\) — вектор нормали плоскости \(DC_1M\). Он перпендикулярен прямым \(DC_1\) и \(DM\), лежащим в этой плоскости, поэтому \(\vec{m} \cdot \overrightarrow{DC_1} = 0\) и \(\vec{m} \cdot \overrightarrow{DM} = 0\): \[\begin{cases} -p + r = 0, \\ -\frac{1}{2}p - q = 0. \end{cases}\]
Отсюда \(r = p\) и \(q = -\frac{1}{2}p\), то есть \(\vec{m}\left(p; -\frac{1}{2}p; p\right)\). Тогда вектор \(\vec{n}_2(2; -1; 2)\) коллинеарен вектору нормали плоскости \(DC_1M\), а значит, сам является её вектором нормали.
\[\cos \angle(\vec{n}_1, \vec{n}_2) = \frac{3 \cdot 2 + 4 \cdot (-1) + 3 \cdot 2}{\sqrt{9 + 16 + 9} \cdot \sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{8}{3\sqrt{34}} = \frac{4\sqrt{34}}{51}.\]
Косинус положителен, поэтому угол между векторами \(\vec{n}_1\) и \(\vec{n}_2\) острый, а значит, он равен углу между плоскостями \(AB_1N\) и \(DC_1M\), то есть \(\arccos \frac{4\sqrt{34}}{51}\).
Ответ: \(\arccos \frac{4\sqrt{34}}{51}\).
Точка \(M\) — середина ребра \(AB\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Точка \(N\) принадлежит ребру \(BC\) и делит его в отношении \(3 : 1\), считая от точки \(B\). Найдите угол между плоскостями \(AB_1N\) и \(DC_1M\).
Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — куб
\(M\) — середина ребра \(AB\)
\(N\) — точка ребра \(BC\), \(BN : NC = 3 : 1\)
Найти: угол между плоскостями \(AB_1N\) и \(DC_1M\).
Решение: Рёбра \(BA\), \(BC\) и \(BB_1\) куба попарно перпендикулярны. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке \(B\), направив оси \(x\), \(y\) и \(z\) по лучам \(BA\), \(BC\) и \(BB_1\); единичный отрезок равен ребру куба.
Тогда \(A(1; 0; 0)\), \(B_1(0; 0; 1)\), \(D(1; 1; 0)\), \(C_1(0; 1; 1)\), \(M\left(\frac{1}{2}; 0; 0\right)\), а так как \(BN = \frac{3}{4}BC\), то \(N\left(0; \frac{3}{4}; 0\right)\).
Векторы \(\overrightarrow{AB_1}\) и \(\overrightarrow{AN}\) имеют координаты \((-1; 0; 1)\) и \(\left(-1; \frac{3}{4}; 0\right)\). Пусть \(\vec{n}(a; b; c)\) — вектор нормали плоскости \(AB_1N\). Он перпендикулярен прямым \(AB_1\) и \(AN\), лежащим в этой плоскости, поэтому \(\vec{n} \cdot \overrightarrow{AB_1} = 0\) и \(\vec{n} \cdot \overrightarrow{AN} = 0\): \[\begin{cases} -a + c = 0, \\ -a + \frac{3}{4}b = 0. \end{cases}\]
Отсюда \(c = a\) и \(b = \frac{4}{3}a\), то есть \(\vec{n}\left(a; \frac{4}{3}a; a\right)\). Тогда вектор \(\vec{n}_1(3; 4; 3)\) коллинеарен вектору нормали плоскости \(AB_1N\), а значит, сам является её вектором нормали.
Векторы \(\overrightarrow{DC_1}\) и \(\overrightarrow{DM}\) имеют координаты \((-1; 0; 1)\) и \(\left(-\frac{1}{2}; -1; 0\right)\). Пусть \(\vec{m}(p; q; r)\) — вектор нормали плоскости \(DC_1M\). Он перпендикулярен прямым \(DC_1\) и \(DM\), лежащим в этой плоскости, поэтому \(\vec{m} \cdot \overrightarrow{DC_1} = 0\) и \(\vec{m} \cdot \overrightarrow{DM} = 0\): \[\begin{cases} -p + r = 0, \\ -\frac{1}{2}p - q = 0. \end{cases}\]
Отсюда \(r = p\) и \(q = -\frac{1}{2}p\), то есть \(\vec{m}\left(p; -\frac{1}{2}p; p\right)\). Тогда вектор \(\vec{n}_2(2; -1; 2)\) коллинеарен вектору нормали плоскости \(DC_1M\), а значит, сам является её вектором нормали.
Задачу о поиске угла между плоскостями сведём к поиску угла между их векторами нормали: \[\cos \angle(\vec{n}_1, \vec{n}_2) = \frac{3 \cdot 2 + 4 \cdot (-1) + 3 \cdot 2}{\sqrt{9 + 16 + 9} \cdot \sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{8}{3\sqrt{34}} = \frac{4\sqrt{34}}{51}.\]
Косинус положителен, поэтому угол между векторами \(\vec{n}_1\) и \(\vec{n}_2\) острый, а значит, он равен углу между плоскостями \(AB_1N\) и \(DC_1M\), то есть \(\arccos \frac{4\sqrt{34}}{51}\).
Ответ: \(\arccos \frac{4\sqrt{34}}{51}\).
