Страница 150 номер 16.19, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCD\) — трапеция, \(AD \parallel BC\), \(AB \perp CD\)
один из углов трапеции равен \(30^\circ\)
средняя линия равна 10 см, одно из оснований — 8 см

Найти: меньшую боковую сторону трапеции.

Решение: Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, поэтому \(AD + BC = 2 \cdot 10 = 20\) (см); одно основание равно 8 см, другое — \(20 - 8 = 12\) (см). Пусть \(AD = 12\) см — большее основание, \(BC = 8\) см.

Проведём через вершину \(C\) прямую, параллельную \(AB\); пусть она пересекает прямую \(AD\) в точке \(F\). Четырёхугольник \(ABCF\) — параллелограмм (\(AB \parallel CF\), \(BC \parallel AF\)), поэтому \(CF = AB\) и \(AF = BC = 8\) см. Так как \(AF < AD\), точка \(F\) лежит на отрезке \(AD\), и \(FD = AD - AF = 12 - 8 = 4\) (см). Прямая \(CF\) параллельна \(AB\), а \(AB \perp CD\), поэтому \(CF \perp CD\) и треугольник \(FCD\) прямоугольный: \(\angle FCD = 90^\circ\).

Углы \(CFD\) и \(BAD\) равны как соответственные при параллельных прямых \(AB\), \(CF\) и секущей \(AD\). Сумма острых углов прямоугольного треугольника \(FCD\) равна \(90^\circ\): \(\angle CFD + \angle D = 90^\circ\), то есть \(\angle A + \angle D = 90^\circ\). Значит, углы трапеции при большем основании острые, а углы при меньшем основании, \(\angle B = 180^\circ - \angle A\) и \(\angle C = 180^\circ - \angle D\), тупые. Поэтому угол \(30^\circ\) — один из углов \(A\) и \(D\); будем считать, что \(\angle A = 30^\circ\) (иначе поменяем местами обозначения \(A\) и \(D\), \(B\) и \(C\)). Тогда \(\angle CFD = 30^\circ\).

В прямоугольном треугольнике \(FCD\) катет \(CD\) лежит против угла \(30^\circ\), поэтому \(CD = \frac{FD}{2} = \frac{4}{2} = 2\) (см), а \(AB = CF = FD\cos 30^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\) (см). Так как \(2 < 2\sqrt{3}\), меньшая боковая сторона трапеции — \(CD\).

Ответ: 2 см.