Страница 149 номер 16.3, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Осевое сечение конуса является прямоугольным треугольником, а диаметр основания конуса равен 10 см. Найдите радиус сферы, описанной около данного конуса.
Дано:
сфера описана около конуса
осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник
\(AB = 10\) см — диаметр основания конуса
Найти: \(R\) — радиус сферы.
Решение: Пусть \(K\) — вершина конуса, \(O_1\) — центр его основания, \(KAB\) — осевое сечение: \(KA\) и \(KB\) — образующие, \(AB\) — диаметр основания. Центр сферы, описанной около конуса, принадлежит оси конуса, а радиус сферы равен радиусу окружности, описанной около осевого сечения конуса.
Треугольник \(KAB\) равнобедренный (\(KA = KB\)), поэтому его углы при основании \(AB\) равны, и ни один из них не может быть прямым: иначе в треугольнике было бы два прямых угла. Значит, прямой угол осевого сечения — угол \(AKB\) при вершине конуса. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, — середина гипотенузы, то есть центр \(O_1\) основания конуса, а радиус этой окружности равен половине гипотенузы: \(R = \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5\) (см).
Плоскость осевого сечения проходит через ось конуса, а значит, и через центр сферы; она пересекает сферу по окружности с центром в центре сферы, а эта окружность проходит через точки \(K\), \(A\) и \(B\), то есть описана около треугольника \(KAB\). Значит, центр сферы совпадает с центром \(O_1\) основания конуса: плоскость основания проходит через центр сферы, и окружность основания — большая окружность сферы.
Ответ: 5 см.
Осевое сечение конуса является прямоугольным треугольником, а диаметр основания конуса равен 10 см. Найдите радиус сферы, описанной около данного конуса.
Дано:
сфера описана около конуса
осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник
\(AB = 10\) см — диаметр основания конуса
Найти: \(R\) — радиус сферы.
Решение: Пусть \(K\) — вершина конуса, \(O_1\) — центр его основания, \(KAB\) — осевое сечение: \(KA\) и \(KB\) — образующие, \(AB\) — диаметр основания. Центр сферы, описанной около конуса, принадлежит оси конуса, а радиус сферы равен радиусу окружности, описанной около осевого сечения конуса.
Треугольник \(KAB\) равнобедренный (\(KA = KB\)), поэтому его углы при основании \(AB\) равны, и ни один из них не может быть прямым: иначе в треугольнике было бы два прямых угла. Значит, прямой угол осевого сечения — угол \(AKB\) при вершине конуса. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, — середина гипотенузы, то есть центр \(O_1\) основания конуса, а радиус этой окружности равен половине гипотенузы: \(R = \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5\) (см).
Плоскость осевого сечения проходит через ось конуса, а значит, и через центр сферы; она пересекает сферу по окружности с центром в центре сферы, а эта окружность проходит через точки \(K\), \(A\) и \(B\), то есть описана около треугольника \(KAB\). Значит, центр сферы совпадает с центром \(O_1\) основания конуса: плоскость основания проходит через центр сферы, и окружность основания — большая окружность сферы.
В плоскости осевого сечения треугольник \(KAB\) вписан в большую окружность сферы с центром \(O_1\): \(O_1K = O_1A = O_1B = R = 5\) см.
Ответ: 5 см.
