Страница 154 номер 17.7, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
усечённый конус, \(O_1\) и \(O_2\) — центры оснований
шар с центром \(O\) вписан в усечённый конус
\(l = 8\) см — образующая

Найти: \(S_{\text{бок}}\) — площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Решение: Плоскость, проходящая через ось \(O_1O_2\) усечённого конуса и центр \(O\) шара, пересекает усечённый конус по осевому сечению \(ABB_1A_1\) — равнобокой трапеции, основания \(AB\) и \(A_1B_1\) которой — диаметры оснований усечённого конуса, а боковые стороны \(AA_1 = BB_1 = l = 8\) см — образующие. Эта плоскость перпендикулярна основаниям и потому содержит перпендикуляры, опущенные из центра шара на их плоскости, то есть точки касания шара с основаниями; она пересекает шар по большому кругу, а лежащие в ней образующие \(AA_1\), \(BB_1\) и диаметры \(AB\), \(A_1B_1\) оснований касаются шара, поэтому окружность этого круга вписана в осевое сечение \(ABB_1A_1\).

Поскольку в трапецию \(ABB_1A_1\) вписана окружность, суммы её противолежащих сторон равны: \(AB + A_1B_1 = AA_1 + BB_1 = 8 + 8 = 16\) (см). Радиусы оснований усечённого конуса равны \(O_1A = \frac{AB}{2}\) и \(O_2A_1 = \frac{A_1B_1}{2}\), поэтому \(O_1A + O_2A_1 = \frac{AB + A_1B_1}{2} = 8\) (см).

По формуле площади боковой поверхности усечённого конуса \(S_{\text{бок}} = \pi (O_1A + O_2A_1) \cdot l = \pi \cdot 8 \cdot 8 = 64\pi\) (см\(^2\)).

Ответ: \(64\pi\) см\(^2\).