Вопросы после параграфа §17 на странице 153, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Цилиндр называют описанным около сферы, если все образующие цилиндра и его основания касаются сферы. При этом сферу называют вписанной в цилиндр. Если цилиндр описан около сферы, то также говорят, что цилиндр описан около шара, ограниченного этой сферой.

Ответ: цилиндр называют описанным около сферы, если все образующие цилиндра и его основания касаются сферы.

Если осевым сечением цилиндра является квадрат, то в такой цилиндр можно вписать сферу.

Верно и обратное: если в цилиндр вписана сфера, то его осевое сечение — квадрат. Действительно, плоскость, проходящая через ось цилиндра и центр сферы, перпендикулярна основаниям и потому содержит перпендикуляры, опущенные из центра сферы на их плоскости, то есть точки касания сферы с основаниями; она пересекает сферу по большой окружности, а лежащие в ней образующие и диаметры оснований касаются сферы, поэтому эта окружность вписана в осевое сечение. Прямоугольник, в который можно вписать окружность, является квадратом.

Ответ: в цилиндр можно вписать сферу тогда и только тогда, когда осевым сечением цилиндра является квадрат.

Если осевым сечением цилиндра является квадрат, то в такой цилиндр можно вписать сферу, причём центр вписанной сферы — это середина отрезка, соединяющего центры оснований цилиндра.

Так расположен центр любой сферы, вписанной в цилиндр. Большая окружность, по которой сферу пересекает плоскость, проходящая через ось цилиндра и центр сферы, вписана в осевое сечение цилиндра — квадрат. Центр окружности, вписанной в квадрат, — точка пересечения его диагоналей, то есть середина отрезка, соединяющего середины двух противолежащих сторон квадрата. У осевого сечения середины сторон, лежащих в основаниях цилиндра, — центры оснований.

Ответ: центр сферы, вписанной в цилиндр, — середина отрезка, соединяющего центры оснований цилиндра.

Если осевым сечением цилиндра является квадрат, то в такой цилиндр можно вписать сферу, причём радиус сферы равен радиусу основания цилиндра.

Так и для любой сферы, вписанной в цилиндр: большая окружность, по которой сферу пересекает плоскость, проходящая через ось цилиндра и центр сферы, вписана в осевое сечение — квадрат, сторона которого равна диаметру основания цилиндра, а радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны.

Ответ: радиус сферы, вписанной в цилиндр, равен радиусу основания цилиндра.

Конус называют описанным около сферы, если все образующие конуса и его основание касаются сферы. При этом сферу называют вписанной в конус.

Ответ: конус называют описанным около сферы, если все образующие конуса и его основание касаются сферы.

В любой конус можно вписать сферу, причём центр вписанной сферы принадлежит высоте конуса, а радиус сферы равен радиусу окружности, вписанной в осевое сечение конуса.

Ответ: центр сферы, вписанной в конус, принадлежит высоте конуса.

Усечённый конус называют описанным около сферы, если все образующие конуса и его основания касаются сферы. При этом сферу называют вписанной в усечённый конус.

Ответ: усечённый конус называют описанным около сферы, если все образующие конуса и его основания касаются сферы.

Если в осевое сечение усечённого конуса можно вписать окружность, то в такой усечённый конус можно вписать сферу, причём центр вписанной сферы — это середина отрезка, соединяющего центры оснований усечённого конуса, а радиус сферы равен половине высоты усечённого конуса.

Так расположен центр любой сферы, вписанной в усечённый конус. Плоскость, проходящая через ось усечённого конуса и центр сферы, перпендикулярна основаниям и потому содержит перпендикуляры, опущенные из центра сферы на их плоскости, то есть точки касания сферы с основаниями; она пересекает сферу по большой окружности, а лежащие в ней образующие и диаметры оснований касаются сферы, поэтому эта окружность вписана в осевое сечение — равнобокую трапецию. Центр окружности, вписанной в равнобокую трапецию, лежит на её оси симметрии — прямой, проходящей через середины оснований (биссектрисы равных углов при большем основании симметричны относительно этой прямой и пересекаются на ней), — и равноудалён от оснований, то есть является серединой отрезка, соединяющего середины оснований трапеции. У осевого сечения середины оснований — центры оснований усечённого конуса.

Ответ: центр сферы, вписанной в усечённый конус, — середина отрезка, соединяющего центры оснований усечённого конуса.