Страница 155 номер 17.20, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
конус, \(S\) — вершина, \(O\) — центр основания
\(OA = 3\) см — радиус основания
центры \(O_1\) и \(O_2\) сфер радиуса \(\sqrt{2}\) см лежат на высоте \(SO\)
первая сфера касается основания
вторая сфера касается первой и всех образующих

Найти: \(SO\) — высоту конуса.

Решение: Плоскость основания касается первой сферы, а касательная плоскость перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Высота \(SO\) проходит через центр \(O_1\) и перпендикулярна плоскости основания, поэтому точка касания — \(O\), и \(OO_1 = \sqrt{2}\) см.

Центры касающихся сфер и точка их касания лежат на одной прямой. Сферы равны и различны, поэтому касание внешнее (при внутреннем касании расстояние между центрами было бы равно разности радиусов, то есть нулю, и равные сферы совпали бы), и \(O_1O_2 = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}\) (см). Точка прямой \(SO\), удалённая от \(O_1\) на \(2\sqrt{2}\) см в сторону основания, лежит по другую сторону от плоскости основания, то есть вне высоты \(SO\), так как \(OO_1 = \sqrt{2} < 2\sqrt{2}\). Значит, \(O_2\) лежит между \(O_1\) и \(S\), и \(OO_2 = OO_1 + O_1O_2 = 3\sqrt{2}\) (см). Кроме того, \(O_2 \ne S\): вершина лежит на всех образующих, а центр сферы удалён от каждой касательной к ней прямой на радиус. Значит, \(SO > 3\sqrt{2}\) см.

Пусть \(SO = h\), \(SA\) — образующая, \(AB\) — диаметр основания. Плоскость \(SAB\) содержит высоту \(SO\), а значит, и центр \(O_2\). Образующая \(SA\) касается второй сферы в некоторой точке \(M\); касательная прямая лежит в касательной плоскости, перпендикулярной радиусу \(O_2M\), поэтому \(O_2M \perp SA\) и \(O_2M = \sqrt{2}\) см, то есть \(M\) — основание перпендикуляра, опущенного из \(O_2\) на прямую \(SA\); этот перпендикуляр лежит в плоскости \(SAB\).

Прямоугольные треугольники \(SMO_2\) и \(SOA\) подобны (угол при вершине \(S\) общий), поэтому \(\frac{O_2M}{OA} = \frac{SO_2}{SA}\), где \(SO_2 = h - 3\sqrt{2}\) и \(SA = \sqrt{h^2 + 9}\): \[\frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{h - 3\sqrt{2}}{\sqrt{h^2 + 9}}.\]

Отсюда \(3(h - 3\sqrt{2}) = \sqrt{2} \cdot \sqrt{h^2 + 9}\). Обе части этого равенства положительны (\(h > 3\sqrt{2}\)); возведём их в квадрат: \[\begin{aligned} 9(h - 3\sqrt{2})^2 &= 2(h^2 + 9); \\ 9h^2 - 54\sqrt{2}h + 162 &= 2h^2 + 18; \\ 7h^2 - 54\sqrt{2}h + 144 &= 0; \\ D &= (54\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 7 \cdot 144 = 5832 - 4032 = 1800 = (30\sqrt{2})^2; \\ h_{1,2} &= \frac{54\sqrt{2} \pm 30\sqrt{2}}{14}; \\ h_1 &= 6\sqrt{2}; \\ h_2 &= \frac{12\sqrt{2}}{7}. \end{aligned}\]

Корень \(\frac{12\sqrt{2}}{7}\) не подходит: \(\frac{12\sqrt{2}}{7} < 3\sqrt{2}\), а \(h > 3\sqrt{2}\). Значит, \(h = 6\sqrt{2}\) см.

Проверка: при \(h = 6\sqrt{2}\) имеем \(SO_2 = 3\sqrt{2}\), \(SA = \sqrt{72 + 9} = 9\) и \(\frac{3\sqrt{2}}{9} = \frac{\sqrt{2}}{3}\).

Ответ: \(6\sqrt{2}\) см.