Страница 153 номер 17.4, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Угол между образующей конуса и его высотой равен \(45^\circ\), а расстояние от центра вписанного в конус шара до вершины конуса равно 4 см. Найдите радиус данного шара.
Дано:
конус с вершиной \(S\), \(SO_1\) — высота, \(SA\) — образующая
\(\angle ASO_1 = 45^\circ\)
шар с центром \(O\) вписан в конус
\(SO = 4\) см
Найти: \(r\) — радиус шара.
Решение: Центр \(O\) шара, вписанного в конус, принадлежит высоте \(SO_1\) конуса. Все образующие конуса касаются вписанного шара; пусть \(M\) — точка касания образующей \(SA\) с шаром. Касательная к сфере перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, поэтому \(OM \perp SA\) и \(OM = r\).
Точка \(M\) лежит на образующей \(SA\), а точка \(O\) — на высоте \(SO_1\), поэтому \(\angle MSO = \angle ASO_1 = 45^\circ\).
Из прямоугольного треугольника \(SMO\): \(OM = SO \cdot \sin\angle MSO\), то есть \(r = 4 \cdot \sin 45^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\) (см).
Ответ: \(2\sqrt{2}\) см.
Угол между образующей конуса и его высотой равен \(45^\circ\), а расстояние от центра вписанного в конус шара до вершины конуса равно 4 см. Найдите радиус данного шара.
Дано:
конус с вершиной \(S\), \(SO_1\) — высота, \(SA\) — образующая
\(\angle ASO_1 = 45^\circ\)
шар с центром \(O\) вписан в конус
\(SO = 4\) см
Найти: \(r\) — радиус шара.
Решение: Центр \(O\) шара, вписанного в конус, принадлежит высоте \(SO_1\) конуса. Все образующие конуса касаются вписанного шара; пусть \(M\) — точка касания образующей \(SA\) с шаром. Касательная к сфере перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, поэтому \(OM \perp SA\) и \(OM = r\).
Точка \(M\) лежит на образующей \(SA\), а точка \(O\) — на высоте \(SO_1\), поэтому \(\angle MSO = \angle ASO_1 = 45^\circ\). Прямоугольный треугольник \(SMO\) (\(\angle SMO = 90^\circ\)) лежит в плоскости, проходящей через высоту \(SO_1\) и образующую \(SA\), — в плоскости осевого сечения \(SAB\) конуса; эта плоскость проходит через центр шара и пересекает шар по большому кругу.
Из прямоугольного треугольника \(SMO\): \(OM = SO \cdot \sin\angle MSO\), то есть \(r = 4 \cdot \sin 45^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\) (см).
Ответ: \(2\sqrt{2}\) см.
