Страница 150 номер 16.16, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
конус вписан в сферу с центром \(O\)
осевое сечение конуса — равносторонний треугольник
плоскость проходит через \(O\) параллельно основанию конуса

Найти: отношение площадей боковых поверхностей образовавшихся конуса и усечённого конуса.

Решение: Пусть \(S\) — вершина конуса, \(O_1\) — центр его основания, \(SAB\) — осевое сечение, \(SA = SB = AB = a\). Центр \(O\) сферы, описанной около конуса, принадлежит оси \(SO_1\). Плоскость \(SAB\) проходит через ось, а значит, и через \(O\); она пересекает сферу по окружности с центром \(O\), на которой лежат точки \(S\), \(A\) и \(B\) сферы. Значит, \(O\) — центр окружности, описанной около равностороннего треугольника \(SAB\), то есть точка пересечения его медиан. Точка \(O_1\) — середина \(AB\), поэтому \(O\) лежит на медиане \(SO_1\) и \(SO = \frac{2}{3}SO_1\).

Секущая плоскость параллельна основанию, поэтому ось \(SO_1\), перпендикулярная плоскости основания, перпендикулярна и секущей плоскости; секущая плоскость пересекает конус по кругу, центр которого лежит на оси, то есть по кругу с центром \(O\). Пусть \(K\) и \(L\) — точки пересечения секущей плоскости с образующими \(SA\) и \(SB\). Образовавшийся конус имеет вершину \(S\), радиус основания \(OK\) и образующую \(SK\); у усечённого конуса радиусы оснований \(O_1A\) и \(OK\), образующая \(KA\).

Прямоугольные треугольники \(SOK\) и \(SO_1A\) (\(\angle SOK = \angle SO_1A = 90^\circ\)) подобны: угол \(S\) у них общий. Коэффициент подобия равен \(\frac{SO}{SO_1} = \frac{2}{3}\), поэтому \(OK = \frac{2}{3}O_1A = \frac{2}{3} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a}{3}\), \(SK = \frac{2}{3}SA = \frac{2a}{3}\) и \(KA = SA - SK = a - \frac{2a}{3} = \frac{a}{3}\).

Площадь боковой поверхности образовавшегося конуса равна \(\pi \cdot OK \cdot SK = \pi \cdot \frac{a}{3} \cdot \frac{2a}{3} = \frac{2\pi a^2}{9}\), а площадь боковой поверхности усечённого конуса — \(\pi(O_1A + OK) \cdot KA = \pi\left(\frac{a}{2} + \frac{a}{3}\right) \cdot \frac{a}{3} = \frac{5\pi a^2}{18}\). Их отношение: \[\frac{2\pi a^2}{9} : \frac{5\pi a^2}{18} = \frac{2}{9} \cdot \frac{18}{5} = \frac{4}{5}.\]

Ответ: \(\frac{4}{5}\).