Страница 154 номер 17.16, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
В усечённый конус вписан шар, радиус которого равен \(R\). Диаметр большего основания усечённого конуса видно из центра шара под углом \(\alpha\). Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.
Дано:
усечённый конус, шар с центром \(O\) вписан в него
\(R\) — радиус шара
\(AB\) — диаметр большего основания, \(\angle AOB = \alpha\)
Найти: \(S_{\text{бок}}\) — площадь боковой поверхности усечённого конуса.
Решение: Пусть \(O_1\) и \(O_2\) — центры большего и меньшего оснований. Плоскость, проходящая через ось \(O_1O_2\) и центр шара, перпендикулярна основаниям и потому содержит перпендикуляры, опущенные из центра шара на их плоскости, то есть точки касания шара с основаниями; она пересекает шар по большому кругу, а лежащие в ней образующие и диаметры оснований касаются шара, поэтому окружность этого круга вписана в осевое сечение. Осевое сечение — равнобокая трапеция, а центр вписанной в неё окружности лежит на её оси симметрии; значит, центр \(O\) шара лежит на оси \(O_1O_2\). Тогда осевое сечение \(ABB_1A_1\), проходящее через диаметр \(AB\), содержит точку \(O\), и окружность радиуса \(R\) с центром \(O\) вписана в равнобокую трапецию \(ABB_1A_1\) (\(A_1B_1\) — диаметр меньшего основания, \(AA_1\) и \(BB_1\) — образующие). Она касается оснований трапеции в их серединах \(O_1\) и \(O_2\), а боковой стороны \(AA_1\) — в точке \(M\).
Точка \(O\) лежит на прямой \(O_1O_2\), которая перпендикулярна диаметру \(AB\) и проходит через его середину, поэтому \(OA = OB\), и высота \(OO_1\) равнобедренного треугольника \(AOB\) — его биссектриса: \(\angle AOO_1 = \frac{\alpha}{2}\). Из прямоугольного треугольника \(AO_1O\): \(AO_1 = OO_1\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} = R\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}\).
Центр вписанной окружности лежит на биссектрисах углов трапеции, поэтому \(AO\) и \(A_1O\) — биссектрисы углов \(BAA_1\) и \(AA_1B_1\). Эти углы прилежат к боковой стороне \(AA_1\) трапеции, их сумма равна \(180^\circ\), поэтому \(\angle OAA_1 + \angle OA_1A = 90^\circ\) и \(\angle AOA_1 = 90^\circ\). Радиус \(OM\), проведённый в точку касания, перпендикулярен \(AA_1\), то есть \(OM\) — высота прямоугольного треугольника \(AOA_1\), проведённая к гипотенузе, и \(OM^2 = AM \cdot MA_1\). Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны: \(AM = AO_1\), \(A_1M = A_1O_2\). Значит, \(R^2 = AO_1 \cdot A_1O_2\), откуда \[A_1O_2 = \frac{R^2}{AO_1} = \frac{R^2}{R\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}} = R\operatorname{ctg}\frac{\alpha}{2}.\]
Так как \(AO_1 > A_1O_2\) и \(AO_1 \cdot A_1O_2 = R^2\), то \(AO_1 > R\), то есть \(\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} > 1\) и \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\).
\[\begin{aligned} AA_1 &= AM + MA_1 = AO_1 + A_1O_2 = R\left(\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} + \operatorname{ctg}\frac{\alpha}{2}\right) = {} \\ &= \frac{R\left(\sin^2\frac{\alpha}{2} + \cos^2\frac{\alpha}{2}\right)}{\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}} = \frac{2R}{\sin\alpha}; \\ S_{\text{бок}} &= \pi(AO_1 + A_1O_2) \cdot AA_1 = \pi \cdot AA_1^2 = \frac{4\pi R^2}{\sin^2\alpha}. \end{aligned}\]
Ответ: \(\frac{4\pi R^2}{\sin^2\alpha}\).
В усечённый конус вписан шар, радиус которого равен \(R\). Диаметр большего основания усечённого конуса видно из центра шара под углом \(\alpha\). Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.
Дано:
усечённый конус, шар с центром \(O\) вписан в него
\(R\) — радиус шара
\(AB\) — диаметр большего основания, \(\angle AOB = \alpha\)
Найти: \(S_{\text{бок}}\) — площадь боковой поверхности усечённого конуса.
Решение: Пусть \(O_1\) и \(O_2\) — центры большего и меньшего оснований. Плоскость, проходящая через ось \(O_1O_2\) и центр шара, перпендикулярна основаниям и потому содержит перпендикуляры, опущенные из центра шара на их плоскости, то есть точки касания шара с основаниями; она пересекает шар по большому кругу, а лежащие в ней образующие и диаметры оснований касаются шара, поэтому окружность этого круга вписана в осевое сечение. Осевое сечение — равнобокая трапеция, а центр вписанной в неё окружности лежит на её оси симметрии; значит, центр \(O\) шара лежит на оси \(O_1O_2\). Тогда осевое сечение \(ABB_1A_1\), проходящее через диаметр \(AB\), содержит точку \(O\), и окружность радиуса \(R\) с центром \(O\) вписана в равнобокую трапецию \(ABB_1A_1\) (\(A_1B_1\) — диаметр меньшего основания, \(AA_1\) и \(BB_1\) — образующие). Она касается оснований трапеции в их серединах \(O_1\) и \(O_2\), а боковой стороны \(AA_1\) — в точке \(M\).
Точка \(O\) лежит на прямой \(O_1O_2\), которая перпендикулярна диаметру \(AB\) и проходит через его середину, поэтому \(OA = OB\), и высота \(OO_1\) равнобедренного треугольника \(AOB\) — его биссектриса: \(\angle AOO_1 = \frac{\alpha}{2}\). Из прямоугольного треугольника \(AO_1O\): \(AO_1 = OO_1\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} = R\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}\).
Центр вписанной окружности лежит на биссектрисах углов трапеции, поэтому \(AO\) и \(A_1O\) — биссектрисы углов \(BAA_1\) и \(AA_1B_1\). Эти углы прилежат к боковой стороне \(AA_1\) трапеции, их сумма равна \(180^\circ\), поэтому \(\angle OAA_1 + \angle OA_1A = 90^\circ\) и \(\angle AOA_1 = 90^\circ\). Радиус \(OM\), проведённый в точку касания, перпендикулярен \(AA_1\), то есть \(OM\) — высота прямоугольного треугольника \(AOA_1\), проведённая к гипотенузе, и \(OM^2 = AM \cdot MA_1\). Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны: \(AM = AO_1\), \(A_1M = A_1O_2\). Значит, \(R^2 = AO_1 \cdot A_1O_2\), откуда \[A_1O_2 = \frac{R^2}{AO_1} = \frac{R^2}{R\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}} = R\operatorname{ctg}\frac{\alpha}{2}.\]
Так как \(AO_1 > A_1O_2\) и \(AO_1 \cdot A_1O_2 = R^2\), то \(AO_1 > R\), то есть \(\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} > 1\) и \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\).
Образующая усечённого конуса: \[\begin{aligned} AA_1 &= AM + MA_1 = AO_1 + A_1O_2 = R\left(\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} + \operatorname{ctg}\frac{\alpha}{2}\right) = {} \\ &= \frac{R\left(\sin^2\frac{\alpha}{2} + \cos^2\frac{\alpha}{2}\right)}{\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}} = \frac{2R}{\sin\alpha}. \end{aligned}\]
Площадь боковой поверхности усечённого конуса: \[S_{\text{бок}} = \pi(AO_1 + A_1O_2) \cdot AA_1 = \pi \cdot AA_1^2 = \frac{4\pi R^2}{\sin^2\alpha}.\]
Ответ: \(\frac{4\pi R^2}{\sin^2\alpha}\).
