Страница 145 номер 15.29, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Пусть \(SABCD\) — данная пирамида, \(SH\) — её высота, \(O\) — центр вписанной сферы, \(r\) — её радиус; по условию точка \(O\) лежит на высоте \(SH\). В пирамиду вписана сфера, поэтому пирамида выпуклая и её основание \(ABCD\) — выпуклый четырёхугольник.

Отрезок \(OH\) перпендикулярен плоскости основания, поэтому \(OH\) — расстояние от центра сферы до этой плоскости: \(OH = r\), а \(H\) — точка касания сферы с гранью \(ABCD\). Грань касается сферы, поэтому точка касания \(H\) принадлежит основанию. Точка \(H\) не лежит на прямых, содержащих стороны основания: если бы \(H\) лежала, например, на прямой \(AB\), то плоскость \(ASB\) содержала бы прямую \(SH\), а с ней и центр \(O\), и расстояние от \(O\) до плоскости грани \(ASB\) было бы равно нулю, а не \(r\).

Пусть \(M_1\) — основание перпендикуляра, опущенного из точки \(H\) на прямую \(AB\). Отрезок \(HM_1\) — проекция наклонной \(SM_1\) на плоскость основания, поэтому по теореме о трёх перпендикулярах \(SM_1 \perp AB\). Значит, \(AB \perp SHM_1\), а \(\angle SM_1H\) — линейный угол двугранного угла пирамиды при ребре \(AB\).

Сфера касается граней \(ASB\) и \(ABCD\) этого двугранного угла, поэтому её центр \(O\) принадлежит биссектору угла. Плоскость \(SHM_1\) перпендикулярна ребру \(AB\); она пересекает двугранный угол по его линейному углу \(SM_1H\), а биссектор — по биссектрисе этого угла. Значит, \(M_1O\) — биссектриса треугольника \(SM_1H\), и по свойству биссектрисы треугольника \(\frac{SM_1}{HM_1} = \frac{SO}{OH}\).

Отношение \(\frac{SO}{OH}\) не зависит от выбора боковой грани; обозначим его \(k\). Гипотенуза \(SM_1\) больше катета \(HM_1\), поэтому \(k > 1\). Из прямоугольного треугольника \(SHM_1\): \(SM_1^2 = SH^2 + HM_1^2\), т. е. \(k^2 \cdot HM_1^2 = SH^2 + HM_1^2\), откуда \(HM_1 = \frac{SH}{\sqrt{k^2 - 1}}\).

Так же для каждой из сторон \(BC\), \(CD\) и \(DA\): расстояние от точки \(H\) до прямой, содержащей сторону, равно \(\frac{SH}{\sqrt{k^2 - 1}}\), а расстояние от вершины \(S\) до этой прямой по теореме о трёх перпендикулярах равно \(\sqrt{SH^2 + \frac{SH^2}{k^2 - 1}}\). Значит, точка \(S\), не лежащая в плоскости выпуклого четырёхугольника \(ABCD\), равноудалена от всех прямых, содержащих его стороны, а её проекция \(H\) принадлежит четырёхугольнику. Следовательно, \(H\) — центр окружности, вписанной в четырёхугольник \(ABCD\), т. е. в основание пирамиды можно вписать окружность.

Ответ: в основание пирамиды можно вписать окружность; её центр — основание высоты пирамиды.