Страница 148 номер 16.1, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
шар описан около цилиндра
\(r = 4\) см — радиус основания цилиндра
\(h = 15\) см — высота цилиндра

Найти: \(R\) — радиус шара.

Решение: Пусть \(O_1\) и \(O_2\) — центры оснований цилиндра, \(AA_1B_1B\) — его осевое сечение: прямоугольник, стороны \(AB\) и \(A_1B_1\) которого — диаметры оснований, а \(AA_1\) и \(BB_1\) — образующие. Центр шара, описанного около цилиндра, — середина \(O\) отрезка \(O_1O_2\), а радиус шара равен радиусу окружности, описанной около осевого сечения цилиндра. Центр окружности, описанной около прямоугольника, — точка пересечения его диагоналей, а её радиус равен половине диагонали, поэтому \(R = \frac{AB_1}{2}\).

Стороны прямоугольника: \(AB = 2r = 8\) см, \(BB_1 = h = 15\) см (образующая цилиндра является его высотой). Из прямоугольного треугольника \(ABB_1\) (\(\angle ABB_1 = 90^\circ\)) по теореме Пифагора \(AB_1 = \sqrt{AB^2 + BB_1^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{289} = 17\) (см).

\(R = \frac{AB_1}{2} = \frac{17}{2} = 8{,}5\) (см).

Ответ: \(8{,}5\) см.