Страница 154 номер 17.6, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
конус, \(SAB\) — осевое сечение
\(SA = b\)
\(\angle ASB = \alpha\)
шар вписан в конус

Найти: \(r\) — радиус шара.

Решение: Радиус шара, вписанного в конус, равен радиусу окружности, вписанной в осевое сечение конуса, то есть в треугольник \(SAB\). В этом треугольнике \(SA = SB = b\) (образующие конуса) и \(\angle ASB = \alpha\). Пусть \(O_1\) — центр основания конуса, то есть середина диаметра \(AB\). Высота \(SO_1\) конуса перпендикулярна плоскости основания, поэтому \(SO_1 \perp AB\) и отрезок \(SO_1\) — высота треугольника \(SAB\).

В равнобедренном треугольнике \(SAB\) высота \(SO_1\), проведённая к основанию, является биссектрисой, поэтому \(\angle ASO_1 = \frac{\alpha}{2}\). Из прямоугольного треугольника \(SO_1A\): \(AO_1 = SA\sin\angle ASO_1 = b\sin\frac{\alpha}{2}\). Угол при основании треугольника \(SAB\) равен \(\angle SAB = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}\).

Центр \(O\) окружности, вписанной в треугольник \(SAB\), — точка пересечения его биссектрис, поэтому он лежит на биссектрисе \(SO_1\) угла \(ASB\) и на биссектрисе \(AO\) угла \(SAB\): \(\angle OAO_1 = \frac{1}{2}\angle SAB = 45^\circ - \frac{\alpha}{4}\). Расстояние от точки \(O\) до прямой \(AB\) равно \(OO_1\), так как \(OO_1 \perp AB\), поэтому \(r = OO_1\). Из прямоугольного треугольника \(AO_1O\): \(r = OO_1 = AO_1\operatorname{tg}\angle OAO_1 = b\sin\frac{\alpha}{2}\operatorname{tg}\left(45^\circ - \frac{\alpha}{4}\right)\).

Ответ: \(b\sin\frac{\alpha}{2}\operatorname{tg}\left(45^\circ - \frac{\alpha}{4}\right)\).