Страница 150 номер 16.18, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
В треугольник \(ABC\) вписан ромб \(AMFK\) так, что угол \(A\) у них общий, а вершина \(F\) принадлежит стороне \(BC\). Найдите сторону ромба, если \(AB = 10\) см, \(AC = 15\) см.
Дано:
\(ABC\) — треугольник, \(AB = 10\) см, \(AC = 15\) см
ромб \(AMFK\) вписан в треугольник \(ABC\), угол \(A\) у них общий
вершина \(F\) лежит на стороне \(BC\)
Найти: \(AM\) — сторону ромба.
Решение: Угол \(A\) у ромба и треугольника общий, поэтому вершина \(M\) ромба лежит на стороне \(AB\), а вершина \(K\) — на стороне \(AC\). Пусть \(AM = MF = x\), тогда \(BM = AB - AM = 10 - x\).
Противолежащие стороны ромба параллельны: \(MF \parallel AK\), то есть \(MF \parallel AC\). Поэтому \(\angle BMF = \angle BAC\) как соответственные углы при параллельных прямых \(MF\), \(AC\) и секущей \(AB\); угол \(B\) у треугольников \(MBF\) и \(ABC\) общий. Значит, треугольники \(MBF\) и \(ABC\) подобны, и \(\frac{BM}{BA} = \frac{MF}{AC}\): \[\begin{aligned} \frac{10 - x}{10} &= \frac{x}{15}; \qquad | \cdot 30 \\ 30 - 3x &= 2x; \\ 5x &= 30; \qquad | : 5 \\ x &= 6. \end{aligned}\]
Ответ: 6 см.
