Страница 154 номер 17.13, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Наибольший угол между образующими конуса равен \(90^\circ\). В конус вписан шар, радиус которого равен \(R\). Найдите площадь полной поверхности конуса.
Дано:
конус, наибольший угол между образующими равен \(90^\circ\)
шар вписан в конус, \(R\) — радиус шара
Найти: \(S_{\text{полн}}\) — площадь полной поверхности конуса.
Решение: Пусть \(S\) — вершина конуса, \(O_1\) — центр основания, \(AB\) — диаметр основания, \(SA = SB = l\). Рассмотрим две образующие \(SC\) и \(SD\), где \(C\) и \(D\) — различные точки окружности основания, и середину \(K\) хорды \(CD\). Треугольник \(SCD\) равнобедренный, поэтому его медиана \(SK\) — высота и биссектриса: \(\sin\frac{\angle CSD}{2} = \frac{CK}{SC} = \frac{CD}{2l}\). Половина угла \(CSD\) острая, поэтому угол \(CSD\) тем больше, чем длиннее хорда \(CD\), а самая длинная хорда — диаметр. Значит, наибольший угол между образующими — угол \(ASB\) при вершине осевого сечения: \(\angle ASB = 90^\circ\).
Плоскость, проходящая через ось \(SO_1\) конуса и центр шара, перпендикулярна основанию и потому содержит перпендикуляр, опущенный из центра шара на плоскость основания, то есть точку касания шара с основанием; она пересекает шар по большому кругу, а лежащие в ней образующие и диаметр основания касаются шара, поэтому окружность этого круга вписана в осевое сечение. Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, лежит на его высоте, проведённой к основанию; значит, центр \(O\) шара лежит на высоте \(SO_1\), и окружность радиуса \(R\) с центром \(O\) вписана в осевое сечение \(SAB\) (оно проходит через ось, а потому и через \(O\)).
Треугольник \(ASB\) прямоугольный и равнобедренный, поэтому \(AB = l\sqrt{2}\) и \(O_1A = \frac{l\sqrt{2}}{2}\). Пусть вписанная окружность касается сторон \(SA\) и \(SB\) в точках \(M\) и \(N\), а основания \(AB\) — в его середине \(O_1\). Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным, поэтому углы \(M\) и \(N\) четырёхугольника \(OMSN\) прямые; угол \(S\) прямой, так как \(\angle ASB = 90^\circ\). Кроме того, \(OM = ON = R\); значит, \(OMSN\) — квадрат и \(SM = R\). Отрезки касательных, проведённых из точки \(A\), равны: \(AM = AO_1 = \frac{l\sqrt{2}}{2}\).
Так как \(SA = SM + MA\), то \[\begin{aligned} l &= R + \frac{l\sqrt{2}}{2}; \qquad | \cdot 2 \\ l(2 - \sqrt{2}) &= 2R; \qquad | : (2 - \sqrt{2}) \\ l &= \frac{2R}{2 - \sqrt{2}} = \frac{2R(2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})} = R(2 + \sqrt{2}). \end{aligned}\]
Тогда \[\begin{aligned} O_1A &= \frac{l\sqrt{2}}{2} = \frac{R(2 + \sqrt{2})\sqrt{2}}{2} = \frac{R(2\sqrt{2} + 2)}{2} = R(\sqrt{2} + 1); \\ S_{\text{полн}} &= \pi \cdot O_1A \cdot SA + \pi \cdot O_1A^2 = \pi \cdot O_1A \cdot (SA + O_1A) = {} \\ &= \pi R(\sqrt{2} + 1) \cdot R(3 + 2\sqrt{2}) = \pi R^2(3\sqrt{2} + 4 + 3 + 2\sqrt{2}) = {} \\ &= \pi R^2(5\sqrt{2} + 7). \end{aligned}\]
Ответ: \(\pi R^2(5\sqrt{2} + 7)\).
Наибольший угол между образующими конуса равен \(90^\circ\). В конус вписан шар, радиус которого равен \(R\). Найдите площадь полной поверхности конуса.
Дано:
конус, наибольший угол между образующими равен \(90^\circ\)
шар вписан в конус, \(R\) — радиус шара
Найти: \(S_{\text{полн}}\) — площадь полной поверхности конуса.
Решение: Пусть \(S\) — вершина конуса, \(O_1\) — центр основания, \(AB\) — диаметр основания, \(SA = SB = l\). Рассмотрим две образующие \(SC\) и \(SD\), где \(C\) и \(D\) — различные точки окружности основания, и середину \(K\) хорды \(CD\). Треугольник \(SCD\) равнобедренный, поэтому его медиана \(SK\) — высота и биссектриса: \(\sin\frac{\angle CSD}{2} = \frac{CK}{SC} = \frac{CD}{2l}\). Половина угла \(CSD\) острая, поэтому угол \(CSD\) тем больше, чем длиннее хорда \(CD\), а самая длинная хорда — диаметр. Значит, наибольший угол между образующими — угол \(ASB\) при вершине осевого сечения: \(\angle ASB = 90^\circ\).
Плоскость, проходящая через ось \(SO_1\) конуса и центр шара, перпендикулярна основанию и потому содержит перпендикуляр, опущенный из центра шара на плоскость основания, то есть точку касания шара с основанием; она пересекает шар по большому кругу, а лежащие в ней образующие и диаметр основания касаются шара, поэтому окружность этого круга вписана в осевое сечение. Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, лежит на его высоте, проведённой к основанию; значит, центр \(O\) шара лежит на высоте \(SO_1\), и окружность радиуса \(R\) с центром \(O\) вписана в осевое сечение \(SAB\) (оно проходит через ось, а потому и через \(O\)).
Треугольник \(ASB\) прямоугольный и равнобедренный, поэтому \(AB = l\sqrt{2}\) и \(O_1A = \frac{l\sqrt{2}}{2}\). Пусть вписанная окружность касается сторон \(SA\) и \(SB\) в точках \(M\) и \(N\), а основания \(AB\) — в его середине \(O_1\). Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным, поэтому углы \(M\) и \(N\) четырёхугольника \(OMSN\) прямые; угол \(S\) прямой, так как \(\angle ASB = 90^\circ\). Кроме того, \(OM = ON = R\); значит, \(OMSN\) — квадрат и \(SM = R\). Отрезки касательных, проведённых из точки \(A\), равны: \(AM = AO_1 = \frac{l\sqrt{2}}{2}\).
Так как \(SA = SM + MA\), то \[\begin{aligned} l &= R + \frac{l\sqrt{2}}{2}; \qquad | \cdot 2 \\ l(2 - \sqrt{2}) &= 2R; \qquad | : (2 - \sqrt{2}) \\ l &= \frac{2R}{2 - \sqrt{2}} = \frac{2R(2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})} = R(2 + \sqrt{2}). \end{aligned}\]
Тогда \[O_1A = \frac{l\sqrt{2}}{2} = \frac{R(2 + \sqrt{2})\sqrt{2}}{2} = \frac{R(2\sqrt{2} + 2)}{2} = R(\sqrt{2} + 1).\]
Площадь полной поверхности конуса: \[\begin{aligned} S_{\text{полн}} &= \pi \cdot O_1A \cdot SA + \pi \cdot O_1A^2 = \pi \cdot O_1A \cdot (SA + O_1A) = {} \\ &= \pi R(\sqrt{2} + 1) \cdot R(3 + 2\sqrt{2}) = \pi R^2(3\sqrt{2} + 4 + 3 + 2\sqrt{2}) = {} \\ &= \pi R^2(5\sqrt{2} + 7). \end{aligned}\]
Ответ: \(\pi R^2(5\sqrt{2} + 7)\).
