Страница 153 номер 17.3, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
конус с вершиной \(S\)
\(SA\) — образующая, \(AB\) — диаметр основания
\(SA = AB\)
\(r\) — радиус вписанной сферы
\(R\) — радиус описанной сферы

Найти: \(r : R\).

Решение: Пусть \(O_1\) — центр основания конуса, то есть середина диаметра \(AB\). Плоскость \(SAB\) проходит через вершину конуса и центр его основания, то есть через ось конуса, поэтому треугольник \(SAB\) — осевое сечение конуса. Радиус сферы, вписанной в конус, равен радиусу окружности, вписанной в осевое сечение конуса, а радиус сферы, описанной около конуса, равен радиусу окружности, описанной около осевого сечения конуса. Значит, \(r\) и \(R\) — радиусы окружностей, вписанной в треугольник \(SAB\) и описанной около него.

Стороны \(SA\) и \(SB\) треугольника \(SAB\) — образующие конуса, поэтому \(SA = SB\); по условию \(SA = AB\). Значит, треугольник \(SAB\) равносторонний. Высота \(SO_1\) конуса перпендикулярна плоскости основания, поэтому \(SO_1 \perp AB\) и отрезок \(SO_1\) — медиана и высота треугольника \(SAB\). В равностороннем треугольнике медианы являются биссектрисами и высотами, поэтому центры вписанной и описанной окружностей совпадают с точкой \(O\) пересечения медиан. Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении \(2 : 1\), считая от вершины, поэтому \(SO : OO_1 = 2 : 1\). Радиус описанной окружности \(R = OS\); радиус вписанной окружности — расстояние от \(O\) до прямой \(AB\), то есть \(r = OO_1\), так как \(OO_1 \perp AB\). Тогда \(r : R = OO_1 : OS = 1 : 2\).

Ответ: \(1 : 2\).